5/303

por **Colton** » Qui Mai 12, 2011 12:29

+
+

Estou me debatendo com o seguinte exercício (que vou digitar sem símbolos):
(Exercício 303 de Fundamentos de Matemática Elementar vol. 5, 7ª edição, página 75.)

Determine o valor de A(n) = somatório de p=0 até n de (Cn,p)[2^(p)3^(n-p)-4^p], para todo n > 0.
Entendo que o somatório proposto é igual a 2^n.
Entendo que [2^(p)3^(n-p)-4^p]pode ser reescrito como (2/3)^p3^n-4^p
Mas não sei o que fazer com (2^n)[(2/3)^p3^n-4^p] para obter A(n) = 0, que é o gabarito.

Tem alguém aí para me dar uma ajudinha?

Sds

Colton

+
+

por **LuizAquino** » Ter Mar 13, 2012 20:55

Sei que essa dúvida é antiga (foi enviada no dia 12 de maio de 2011), mas segue a solução abaixo.

Colton escreveu:Estou me debatendo com o seguinte exercício (que vou digitar sem símbolos):
(Exercício 303 de Fundamentos de Matemática Elementar vol. 5, 7ª edição, página 75.)

Determine o valor de A(n) = somatório de p=0 até n de (Cn,p)[2^(p)3^(n-p)-4^p], para todo n > 0.
Entendo que o somatório proposto é igual a 2^n.
Entendo que [2^(p)3^(n-p)-4^p]pode ser reescrito como (2/3)^p3^n-4^p
Mas não sei o que fazer com (2^n)[(2/3)^p3^n-4^p] para obter A(n) = 0, que é o gabarito.

Primeiro, vamos escrever o exercício usando a notação adequada:

$A(n) = \sum_{p=0}^n {n \choose p}\left(2^p 3^{n-p} - 4^p\right)$

Agora, note que:

$A(n) = \sum_{p=0}^n {n \choose p}\left(2^p 3^{n-p} - 4^p 1^{n - p}\right)$

$A(n) = \sum_{p=0}^n {n \choose p} 2^p 3^{n-p} - \sum_{p=0}^n {n \choose p} 4^p 1^{n - p}$

A(n) = (2 + 3)^n - (4 + 1)^n

5/303

5/303

5/303

Re: 5/303

Quem está online