[DUV] Não Entendi a Demonstração

por **Imscatman** » Qui Mar 17, 2011 21:34

Prove que:

${n \choose 1} + 2{n \choose 2} + 3{n \choose 3} + ... + n{n \choose n} = n\cdot{2}^{n-1}$

O livro até apresenta a solução, mas não compreendi:

Solução:

Sabemos que:

${(1+x)}^{n}={n \choose 0} + {n \choose 1}x + {n \choose 2}{x}^{2} + ... + {n \choose n}{x}^{n}$

Derivando membro a membro em relação a , temos:
[ñ entendi este passo]

$n\cdot{(1+x)}^{n-1}={n \choose 1} + 2{n \choose 2}x + 3{n \choose 3}{x}^{2} + ... + n{n \choose n}{x}^{n-1}$

Fazendo nesta igualdade resulta:

$n\cdot{2}^{n-1}={n \choose 1} + 2{n \choose 2} + 3{n \choose 3} + ... + n{n \choose n}$

Até onde sei,

$n\cdot{(1+x)}^{n-1}=n\cdot\left[ {n-1 \choose 0} + {n-1 \choose 1}x + {n-1 \choose 2}{x}^{2} + ... + {n-1 \choose n-1}{x}^{n-1} \right]$

e não estou sabendo ver que isto seja o mesmo que

${n \choose 1} + 2{n \choose 2}x + 3{n \choose 3}{x}^{2} + ... + n{n \choose n}{x}^{n-1}$

Se possível, gostaria de ver um passo-a-passo de como se chega da primeira coisa na segunda.