Combinatória-analise combinatoria

[heloisacarvalho83]

De quantas maneiras distintas 20 pessoas podem formar uma fila
se Eric estará entre os primeiros 7 lugares somente se a Ana também
estiver, e vice-versa, sabendo-se que neste caso os lugares deles não
serão consecutivos? Justifique

[Livia000]

Dividir o problema em casos seria uma boa ideia ( em combinatória, é assim quase sempre^^)...
Vamos pensar nos casos em que:

1) Ana e Eric não estão entre os sete primeiros lugares:
Nesse caso, Ana e Eric podem estar em lugares consecutivos. Logo, temos:

[A13,2]x[A18,18]= (13!/11!)x18!= 18!x156 possibilidades...

obs: A[13,2] refere-se ao número de arranjos possíveis, dos 13 últimos lugares, dois a dois, que são o número de lugares em que Ana e Eric podem estar. Uma vez escolhidos esses lugares, temos ainda 18 lugares restantes para serem preenchidos pelas outras 18 pessoas. Isso pode ser feito de 18! maneiras. Usamos "arranjo" porque a ordem das pessoas é importante para computar as possibilidades ( CAB é diferente de ABC ; A,B e C são pessoas).

2) Ana e Eric estão entre os sete primeiros:

Agora, eles não podem estar em lugares consecutivos.
Primeiramente, devemos escolher dois lugares para Ana e Eric, dentre os sete primeiros, o que é igual a:

[A7,2] . Mas, esse arranjo inclui as situações em que A e E estão juntos. Então, devemos subtrair desse valor o número de possibilidades em que eles estão juntos, que é igual a 6 ( você pode chegar a esse valor através do bom e velho método dos "tracinhos" _ _ _ _ _ _ _ ...assim, percebe-se que podemos formar ao todo 6 conjuntos de traços consecutivos). Como a ordem importa, iremos subtrair 12 do arranjo acima.
Logo, vem:

A7,2 -12 = 7!/5! -12 = 30

Depois de escolhidos os lugares para A e E, temos 18! possibilidades para o restante do pessoal.

Logo, teremos 30.18! possibilidades.

Finalmente, somando os dois valores obtidos acima, temos:

30.18! + 156.18! = 18!.186 possibilidades