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Questão prova concurso (análise comb.)

Questão prova concurso (análise comb.)

Mensagempor fernandocez » Qui Mar 24, 2011 10:20

Caro amigos matemáticos, venho com mais uma questão que não consegui resolver.

46) Em um curso de espanhol estudam vinte alunos, sendo doze rapazes e oito moças. O professor que formar uma equipe de quatro alunos para intercâmbio em outro país. O número de equipe de dois rapazer e duas moças que pode ser formadas é:
resp: 1848

Eu fiz.
C20,4 (comb. vinte quatro a quatro) = 4845
C12,4 = 495
C8,4 = 70
Somei as duas 495 + 70
Subtrair de 4845 - (495 + 70)
Fiz que nem uma outra, que era: formar equipe de três pessoas com pelo menos uma mulher. Eu fiz a combinação de todos e subtraí só os Homens.
Agora não deu certo, aonde que eu errei?
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Re: Questão prova concurso (análise comb.)

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 24, 2011 10:55

Observação

Ao calcular C^{20}_4 você está contando equipes:
(i) com apenas homens;
(ii) com apenas mulheres;
(iii) com 1 homem e 3 mulheres;
(iv) com 2 homens e 2 mulheres;
(v) com 3 homens e 1 mulher.
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Re: Questão prova concurso (análise comb.)

Mensagempor fernandocez » Qui Mar 24, 2011 11:22

LuizAquino escreveu:Observação

Ao calcular C^{20}_4 você está contando equipes:
(i) com apenas homens;
(ii) com apenas mulheres;
(iii) com 1 homem e 3 mulheres;
(iv) com 2 homens e 2 mulheres;
(v) com 3 homens e 1 mulher.


Oi Luiz, mas eu tenho que fazer a 1ª combinação contando todo mundo e depois eliminar os que não quero. Por exemplo: não quero, todos rapazes, todas moças e etc. No outro eu fiz a combinação com todo mundo e eliminei todos os homens juntos (foi isso que entendi). Tô meio perdido em combinação.
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Re: Questão prova concurso (análise comb.)

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 24, 2011 11:36

Número de equipes com:
(i) apenas homens: C^{12}_4 .
(ii) apenas mulheres: C^8_4 .
(iii) 1 homem e 3 mulheres: 12C^8_3 .
(iv) com 3 homens e 1 mulher: 8C^{12}_3 .
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Re: Questão prova concurso (análise comb.)

Mensagempor fernandocez » Qui Mar 24, 2011 12:06

LuizAquino escreveu:Número de equipes com:
(i) apenas homens: C^{12}_4 .
(ii) apenas mulheres: C^8_4 .
(iii) 1 homem e 3 mulheres: 12C^8_3 .
(iv) com 3 homens e 1 mulher: 8C^{12}_3 .


Luiz, eu entendi as combinações acima. Mas não consigo montar uma prá 2 homens e 2 mulheres. Teria que fazer separado e depois multiplicar?
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Re: Questão prova concurso (análise comb.)

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 24, 2011 12:19

Número de equipes com 2 homens e 2 mulheres:
(i) Uma maneira de fazer: C_4^{20} - (C^{12}_4 + C^8_4 + 12C^8_3 + 8C^{12}_3) .
(ii) Outra maneira de fazer: C_2^{12}C_2^{8} .
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Re: Questão prova concurso (análise comb.)

Mensagempor fernandocez » Qui Mar 24, 2011 12:23

LuizAquino escreveu:Número de equipes com 2 homens e 2 mulheres: C_4^{20} - (C^{12}_4 + C^8_4 + 12C^8_3 + 8C^{12}_3) .


Essa eu nunca ia acertar. E coisa difícil esse negócio de combinação. E deve cair pelo menos uma assim na prova do estado RJ que vou fazer domingo. Obrigado.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?