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matemática financeira / Juros compostos

MensagemEnviado: Sex Jul 11, 2008 21:00
por Roberta
Olá a todos!! :-)

Queria ajuda do pessoal para resolver esta questão :shock:

Augusto emprestou R$ 30.000,00 a César, à taxa de juros de 10% ao mês. Eles combinaram que o saldo devedor seria
calculado a juros compostos no número inteiro de meses e, a seguir, corrigido a juros simples, com a mesma taxa de
juros, na parte fracionária do período, sempre considerando o mês com 30 dias. Para quitar a dívida 2 meses e 5 dias após o empréstimo, César deve pagar a Augusto, em reais,
(A) 39.930,00
(B) 39.600,00
(C) 37.026,00
(D) 36.905,00
(E) 36.300,00

Como estabelecer os valores ? Não sei por onde começar... :?

Obrigada !!!

Re: matemática financeira / Juros compostos

MensagemEnviado: Sex Jul 11, 2008 22:16
por fabiosousa
Olá Roberta!

Comece calculando o montante M após 2 meses, partindo do capital C, com a taxa de juros compostos i de 10%:

M = C \left( 1 + \frac{i}{100}\right)^n

Depois, encontre a taxa i_2 proporcional aos 5 dias. Faça uma regra de três:

\left\{
\begin{matrix}
\text{30 dias} & & 10\% \\
\text{5 dias} & & i_2 \\
\end{matrix}
\right.

Corrija o montante M com esta taxa de juros simples.

Dica: utilize C = 30, no final, multiplique o montante por 1000.

Bons estudos!

Re: matemática financeira / Juros compostos

MensagemEnviado: Sex Jul 11, 2008 22:53
por Roberta
Vlw Fábio!
Obrigada!! :-)

Re: matemática financeira / Juros compostos

MensagemEnviado: Sáb Jul 12, 2008 00:11
por fabiosousa
Também acho interessante comentar sobre esta conhecida "fórmula" para juros compostos...
Uma vez entendida a idéia, em caso de esquecimento, podemos obtê-la novamente. Veja...

Sendo:
i: a taxa de juros em cada período
C: o capital inicial
n: o número de períodos considerados (meses, anos etc)
M_n: o montante após n períodos


No início, para n=0, temos:

M_0 = C


Após 1 período:


Quando n=1, aplicamos pela primeira vez a taxa de juros:

M_1 = M_0 + M_0 \cdot \frac{i}{100}

Substituindo M_0:

M_1 = C + C \cdot \frac{i}{100}

Colocando C em evidência:

M_1 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

Após 2 períodos:


Da mesma forma, temos o montante anterior acrescido do percentual relacionado à taxa de juros:

M_2 = M_1 + M_1 \cdot \frac{i}{100}

Colocando M_1 em evidência:

M_2 = M_1 \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

Substituindo M_1:

M_2 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right) \cdot \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

M_2 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^2


Após 3 períodos:


O mesmo processo, aplicando a taxa de juros sobre o montante atual:

M_3 = M_2 + M_2 \cdot \frac{i}{100}


Colocando M_2 em evidência:

M_3 = M_2 \cdot \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

Substituindo M_2:

M_3 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^2 \cdot \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

M_3 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^3


Após 4 períodos:


Fazendo da mesma forma, obtemos:

M_4 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^4


\vdots


Após n períodos:


Percebemos uma forma geral para o montante:

M_n = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^n

Esta expressão pode ser provada por indução matemática, mas este seria outro assunto.

Até mais!