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matemática financeira / Juros compostos

matemática financeira / Juros compostos

Mensagempor Roberta » Sex Jul 11, 2008 21:00

Olá a todos!! :-)

Queria ajuda do pessoal para resolver esta questão :shock:

Augusto emprestou R$ 30.000,00 a César, à taxa de juros de 10% ao mês. Eles combinaram que o saldo devedor seria
calculado a juros compostos no número inteiro de meses e, a seguir, corrigido a juros simples, com a mesma taxa de
juros, na parte fracionária do período, sempre considerando o mês com 30 dias. Para quitar a dívida 2 meses e 5 dias após o empréstimo, César deve pagar a Augusto, em reais,
(A) 39.930,00
(B) 39.600,00
(C) 37.026,00
(D) 36.905,00
(E) 36.300,00

Como estabelecer os valores ? Não sei por onde começar... :?

Obrigada !!!
Roberta.gmail :-)
Roberta
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Re: matemática financeira / Juros compostos

Mensagempor fabiosousa » Sex Jul 11, 2008 22:16

Olá Roberta!

Comece calculando o montante M após 2 meses, partindo do capital C, com a taxa de juros compostos i de 10%:

M = C \left( 1 + \frac{i}{100}\right)^n

Depois, encontre a taxa i_2 proporcional aos 5 dias. Faça uma regra de três:

\left\{
\begin{matrix}
\text{30 dias} & & 10\% \\
\text{5 dias} & & i_2 \\
\end{matrix}
\right.

Corrija o montante M com esta taxa de juros simples.

Dica: utilize C = 30, no final, multiplique o montante por 1000.

Bons estudos!
Fábio Sousa
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Re: matemática financeira / Juros compostos

Mensagempor Roberta » Sex Jul 11, 2008 22:53

Vlw Fábio!
Obrigada!! :-)
Roberta.gmail :-)
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Re: matemática financeira / Juros compostos

Mensagempor fabiosousa » Sáb Jul 12, 2008 00:11

Também acho interessante comentar sobre esta conhecida "fórmula" para juros compostos...
Uma vez entendida a idéia, em caso de esquecimento, podemos obtê-la novamente. Veja...

Sendo:
i: a taxa de juros em cada período
C: o capital inicial
n: o número de períodos considerados (meses, anos etc)
M_n: o montante após n períodos


No início, para n=0, temos:

M_0 = C


Após 1 período:


Quando n=1, aplicamos pela primeira vez a taxa de juros:

M_1 = M_0 + M_0 \cdot \frac{i}{100}

Substituindo M_0:

M_1 = C + C \cdot \frac{i}{100}

Colocando C em evidência:

M_1 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

Após 2 períodos:


Da mesma forma, temos o montante anterior acrescido do percentual relacionado à taxa de juros:

M_2 = M_1 + M_1 \cdot \frac{i}{100}

Colocando M_1 em evidência:

M_2 = M_1 \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

Substituindo M_1:

M_2 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right) \cdot \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

M_2 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^2


Após 3 períodos:


O mesmo processo, aplicando a taxa de juros sobre o montante atual:

M_3 = M_2 + M_2 \cdot \frac{i}{100}


Colocando M_2 em evidência:

M_3 = M_2 \cdot \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

Substituindo M_2:

M_3 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^2 \cdot \left( 1 + \frac{i}{100} \right)

M_3 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^3


Após 4 períodos:


Fazendo da mesma forma, obtemos:

M_4 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^4


\vdots


Após n períodos:


Percebemos uma forma geral para o montante:

M_n = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^n

Esta expressão pode ser provada por indução matemática, mas este seria outro assunto.

Até mais!
Fábio Sousa
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?