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Problema de Combinatória

Problema de Combinatória

Mensagempor luisfc » Qua Nov 10, 2010 19:44

boas
estou ás voltas com um problema que está no meu manual de matemática.
já perguntei á minha prof. mas nem ela conseguiu fazer o exercício.
o enunciado é o seguinte:

-De quantas maneiras diferentes é possível subir os 12 degraus de uma escada, sabendo que não se pode subir mais do que 2 degraus de cada vez?
(a solução é: 233 maneiras diferentes. está no final do manual)

este problema é diferente de todos os outros que tenho resolvido porque não tem um Conjunto definido, em que podemos considerar as opçoes restantes e assim

normalmente dá para resolver este género de exercicios colocaando os tracinhos e completando de acordo com as condiçoes dadas, mas neste exercicio não vejo maneira de fazer isso..

ajuda precisa-se sff

cumps
Luís Carvalho
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Re: Problema de Combinatória

Mensagempor alexandre32100 » Qui Nov 18, 2010 23:39

12= n +2\cdot m\therefore n=12-2m, onde n é o número de vezes que subimos um degrau e m o número de vezes que subimos dois.
Veja que m pode variar de 0 a \dfrac{12}{2}=6, na tabela abaixo fiz a comparação entre n e m em cada caso.
\begin{tabular}{|c|c|}\hline m & n \\\hline 0&12 \\\hline 1&10 \\\hline 2&8 \\\hline 3&6 \\\hline 4&4\\\hline 5&2 \\\hline 6&0 \\\hline\end{tabular}
As possibilidades de escolha em cada caso é dado por \dbinom{m+n}{m}=\dbinom{m+12-2m}{m}=\dbinom{12-m}{m}
Assim, o número que procuramos é \displaystyle{\sum^{6}_{m=0} \dbinom{12-m}{m}}=234.
Deu um resultado diferente do seu gabarito. Vê aí se tem alguma coisa que fiz errado, ou então creio que haja um incorreção no gabarito, que deve ter, sei lá, esquecido de considerar o caso de subir a escada somente com passos de um degrau ou somente com passos de dois.
Qualquer coisa, posta aí.
alexandre32100
 

Re: Problema de Combinatória

Mensagempor luisfc » Sex Nov 19, 2010 13:01

Desde já muito obrigado por responder

o que n percebi foi como chegou ás possibilidades de escolha, o raciocínio, para chegar a ((12-m)/m)

obrigado
luisfc
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Re: Problema de Combinatória

Mensagempor alexandre32100 » Sex Nov 19, 2010 13:15

luisfc escreveu:o que n percebi foi como chegou ás possibilidades de escolha, o raciocínio, para chegar a \binom{12-m}{m}

É o seguinte.
m+n é o número de "passos" que nós damos. No caso m=2 e n=8, por exemplo, a sequência 2,2,1,1,1,1,1,1,1,1 significa que demos primeiro dois passos de dois degrai e depois oito passos de um, assim cada permutação desta sequência equivale a uma maneira diferente de subir a escada. Isto equivale a P_{10}^{2,8}=\dfrac{10!}{8!\cdot2!} (permutação com elementos repetidos), ou ainda a \dbinom{10}{2}=\dbinom{10}{8}.
Portanto, se temos m+n passos, podemos forma uma sequência deste comprimento com m e n elementos repetidos, isto equivale a \dfrac{(m+n)!}{m!\cdot n!}=\dbinom{m+n}{m}=\dbinom{m+n}{n}. A partir daí só substitui-se n=12-2m.

Entendido?
alexandre32100
 

Re: Problema de Combinatória

Mensagempor luisfc » Sáb Nov 20, 2010 12:36

Está Percebido
Muito Obrigado pela explicação ;P
luisfc
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Re: Problema de Combinatória

Mensagempor Ricardo 2011 » Qua Abr 06, 2016 15:46

Essa questão foi objeto da prova de admissão ao 6º ano do ensino fundamental do Colégio Militar de Porto Alegre, em 2014, com a diferença que, na prova, a escada tinha dez degraus.
Uma maneira de resolver é a seguinte:

Se chamarmos de T1 o n.º de maneiras para se chegar ao primeiro degrau da escada, T1=1.
Da mesma forma, T2 (n.º de maneiras para se chegar ao segundo degrau) será T2=2 (ou se chega do degrau 1, dando mais um passo de 1 degrau, ou se entra direto na escada com um passo de 2 degraus).
De forma análoga, para se chegar ao terceiro degrau, ou se vem do 2º degrau ou do 1º degrau. Assim, T3=T2+T1 = 2+1=3.
T4=T3+T2 e assim sucessivamente.
Estamos diante da conhecida série de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233...), onde cada termo é a soma dos dois anteriores.
Como podemos ver, o T12 = 233.

Outra forma de resolver é considerar dois elementos distintos (passos de 1 degrau e passos de 2 degraus) e calcular todas as permutações com repetição possíveis:
1) 12 passos de 1 degrau = 1 maneira.
2) 6 passos de 2 degraus = 1 maneira.
3) 1 passo de 2 degraus + 10 passos de 1 degrau = 11! / 10! = 11 maneiras.
4) 2 passos de 2 degraus + 8 passos de 1 degrau = 10! / (2! x 8!) = 45 maneiras.
5) 3 passos de 2 degraus + 6 passos de 1 degrau = 9! / (3! x 6!) = 84 maneiras.
6) 4 passos de 2 degraus + 4 passos de 1 degrau = 8! / (4! x 4!) = 70 maneiras.
7) 5 passos de 2 degraus + 2 passos de 1 degrau = 7! / (5! x 2!) = 21 maneiras.

Sendo assim, o total de modos é: 1+1+11+45+84+70+21 = 233.
Ricardo 2011
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.