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Problema de Combinatória

Problema de Combinatória

Mensagempor luisfc » Qua Nov 10, 2010 19:44

boas
estou ás voltas com um problema que está no meu manual de matemática.
já perguntei á minha prof. mas nem ela conseguiu fazer o exercício.
o enunciado é o seguinte:

-De quantas maneiras diferentes é possível subir os 12 degraus de uma escada, sabendo que não se pode subir mais do que 2 degraus de cada vez?
(a solução é: 233 maneiras diferentes. está no final do manual)

este problema é diferente de todos os outros que tenho resolvido porque não tem um Conjunto definido, em que podemos considerar as opçoes restantes e assim

normalmente dá para resolver este género de exercicios colocaando os tracinhos e completando de acordo com as condiçoes dadas, mas neste exercicio não vejo maneira de fazer isso..

ajuda precisa-se sff

cumps
Luís Carvalho
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Re: Problema de Combinatória

Mensagempor alexandre32100 » Qui Nov 18, 2010 23:39

12= n +2\cdot m\therefore n=12-2m, onde n é o número de vezes que subimos um degrau e m o número de vezes que subimos dois.
Veja que m pode variar de 0 a \dfrac{12}{2}=6, na tabela abaixo fiz a comparação entre n e m em cada caso.
\begin{tabular}{|c|c|}\hline m & n \\\hline 0&12 \\\hline 1&10 \\\hline 2&8 \\\hline 3&6 \\\hline 4&4\\\hline 5&2 \\\hline 6&0 \\\hline\end{tabular}
As possibilidades de escolha em cada caso é dado por \dbinom{m+n}{m}=\dbinom{m+12-2m}{m}=\dbinom{12-m}{m}
Assim, o número que procuramos é \displaystyle{\sum^{6}_{m=0} \dbinom{12-m}{m}}=234.
Deu um resultado diferente do seu gabarito. Vê aí se tem alguma coisa que fiz errado, ou então creio que haja um incorreção no gabarito, que deve ter, sei lá, esquecido de considerar o caso de subir a escada somente com passos de um degrau ou somente com passos de dois.
Qualquer coisa, posta aí.
alexandre32100
 

Re: Problema de Combinatória

Mensagempor luisfc » Sex Nov 19, 2010 13:01

Desde já muito obrigado por responder

o que n percebi foi como chegou ás possibilidades de escolha, o raciocínio, para chegar a ((12-m)/m)

obrigado
luisfc
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Re: Problema de Combinatória

Mensagempor alexandre32100 » Sex Nov 19, 2010 13:15

luisfc escreveu:o que n percebi foi como chegou ás possibilidades de escolha, o raciocínio, para chegar a \binom{12-m}{m}

É o seguinte.
m+n é o número de "passos" que nós damos. No caso m=2 e n=8, por exemplo, a sequência 2,2,1,1,1,1,1,1,1,1 significa que demos primeiro dois passos de dois degrai e depois oito passos de um, assim cada permutação desta sequência equivale a uma maneira diferente de subir a escada. Isto equivale a P_{10}^{2,8}=\dfrac{10!}{8!\cdot2!} (permutação com elementos repetidos), ou ainda a \dbinom{10}{2}=\dbinom{10}{8}.
Portanto, se temos m+n passos, podemos forma uma sequência deste comprimento com m e n elementos repetidos, isto equivale a \dfrac{(m+n)!}{m!\cdot n!}=\dbinom{m+n}{m}=\dbinom{m+n}{n}. A partir daí só substitui-se n=12-2m.

Entendido?
alexandre32100
 

Re: Problema de Combinatória

Mensagempor luisfc » Sáb Nov 20, 2010 12:36

Está Percebido
Muito Obrigado pela explicação ;P
luisfc
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Re: Problema de Combinatória

Mensagempor Ricardo 2011 » Qua Abr 06, 2016 15:46

Essa questão foi objeto da prova de admissão ao 6º ano do ensino fundamental do Colégio Militar de Porto Alegre, em 2014, com a diferença que, na prova, a escada tinha dez degraus.
Uma maneira de resolver é a seguinte:

Se chamarmos de T1 o n.º de maneiras para se chegar ao primeiro degrau da escada, T1=1.
Da mesma forma, T2 (n.º de maneiras para se chegar ao segundo degrau) será T2=2 (ou se chega do degrau 1, dando mais um passo de 1 degrau, ou se entra direto na escada com um passo de 2 degraus).
De forma análoga, para se chegar ao terceiro degrau, ou se vem do 2º degrau ou do 1º degrau. Assim, T3=T2+T1 = 2+1=3.
T4=T3+T2 e assim sucessivamente.
Estamos diante da conhecida série de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233...), onde cada termo é a soma dos dois anteriores.
Como podemos ver, o T12 = 233.

Outra forma de resolver é considerar dois elementos distintos (passos de 1 degrau e passos de 2 degraus) e calcular todas as permutações com repetição possíveis:
1) 12 passos de 1 degrau = 1 maneira.
2) 6 passos de 2 degraus = 1 maneira.
3) 1 passo de 2 degraus + 10 passos de 1 degrau = 11! / 10! = 11 maneiras.
4) 2 passos de 2 degraus + 8 passos de 1 degrau = 10! / (2! x 8!) = 45 maneiras.
5) 3 passos de 2 degraus + 6 passos de 1 degrau = 9! / (3! x 6!) = 84 maneiras.
6) 4 passos de 2 degraus + 4 passos de 1 degrau = 8! / (4! x 4!) = 70 maneiras.
7) 5 passos de 2 degraus + 2 passos de 1 degrau = 7! / (5! x 2!) = 21 maneiras.

Sendo assim, o total de modos é: 1+1+11+45+84+70+21 = 233.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?