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[Variáveis Aleatórias] Esperança Matemática

[Variáveis Aleatórias] Esperança Matemática

Mensagempor guisore_09 » Ter Dez 29, 2015 08:58

Prezados, bom dia.

Estou estudando para uma prova de mestrado a qual aborda assuntos diversos em estatistica. Ao entrar em vaiaveis aleatorias me deparei com uma duvida constante na resolução de exericios que envolvem a maximização/minimização do valor esperado.

Meu maior problema está em encontrar a melhor ou a unica forma de fazer essa maximização. Tentei encontrar os valores derivando, fazendo comparações quando é acrescido uma unidade, pro diferença e de qualquer outro jeito que possam imaginar mas minha dificuldade persiste nesse tipo de problema.

Segue um exemplo (gostaria de, se possivel, postar outros para que eu posso entender a forma de resolver esse tipo de exercicio e possa tentar por conta propria em outros)

"Um jornaleiro compra jronais por 10 centavos e vende-os por 15 centavos. Entretanto, ele não pode retornar os jornais que não tiver vendido. Se sua demanda diária for uma variavel aleatoria binomial com n=10, p= 1/3, aproximademente quantos jornais ele deve comprar de forma a maximizar o lucro esperado?"

Muito obrigado. Agradeço se alguem tiver alguma dica para resolução desse tipo de exercicio também. Obrigado.
guisore_09
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Re: [Variáveis Aleatórias] Esperança Matemática

Mensagempor Lucio Carvalho » Sex Jan 01, 2016 17:56

Olá guisore,
Segue,em anexo, uma ajuda.
Espero que ajude!
Anexos
Jan_01_18_34-page-001.jpg
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Lucio Carvalho
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[Variáveis Aleatórias] Esperança Matemática

Mensagempor guisore_09 » Sáb Jan 02, 2016 10:01

Lucio,

Muito obrigado pela ajuda!! Com certeza ajudou muito.

Uma dúvida, você teria uma sugestão para casos em que não seja possivel "fazer testes"?

Por exemplo para os casos abaixo:

EX1: Suponha que dois times joguem uma série de partidas que termina quando um deles tiver ganhado “i” partidas. Suponha que cada partida jogada seja, independentemente, vencida pelo time A com probabilidade p. Determine o número esperado de partidas jogadas quando (a) i = 2 (b) i = 3. Também, mostre em ambos os casos que este número é maximizado quando p=1/2.

Comentário: Fica evidente que, por exemplo, para (a) a V.A. X (número de partidas jogadas) assume os valores 2 ou 3, com probabilidade p² e 2*p² *(1 - p). Contudo depois que que obtenho a função que representa a esperança, a maximização não fica claro para mim.


EX2: A cada noite diferentes meteorologistas nos dão a probabilidade de chuva no dia seguinte. Para julgar quão boa é a previsão do tempo feita por essas pessoas, vamos classifica-las de forma a seguir: se um meteorologista diz que choverá com probabilidade p, então ele ou ela receberá uma nota de:

1 – (1 – p)² - se chover
1 – p² - se não chover

Vamos então anotar as notas ao longo de um determinado período de tempo e concluir que o meteorologista com a maior nota média é aquele que melhor prevê o tempo. Suponha agora que certo meteorologista esteja ciente de nosso mecanismo de notas e queira maximizar sua nota esperada. Se essa pessoa acredita verdadeiramente que choverá amanhã com probabilidade p*, que valor de p ele ou ela deve declarar de forma a maximizar a nota esperada?

De novo, muito obrigado pela ajuda.

Atenciosamente,

Guilherme
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Re: [Variáveis Aleatórias] Esperança Matemática

Mensagempor Lucio Carvalho » Dom Jan 03, 2016 07:08

Olá Guilherme,
Segue, em anexo, a minha análise do exercício Ex.1 a)
Não estou muito certo se a maneira que usei para analisar o exercício é a mais adequada.
Espero que existam outras contribuições.
Anexos
Ex1a.png
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[Variáveis Aleatórias] Esperança Matemática

Mensagempor guisore_09 » Dom Jan 03, 2016 10:20

Prezados,

Muito Obrigado pela ajuda e pelos comentários.

Acabei encontrando a forma de resolver os dois exercicios (Segue a resolução do exercicio das partidas dos dois times). Para i=3 é só repetir o mesmo raciocinio.

Além dessa forma, é possível resolve-lo tendo em mente que dado que X e Y são variaveis aleatórias com distribuição de probabilidade de uma binomial negativa, a esperança de ambas serão dada por: E[X] = r/p e E[Y] = r/(1-p) em que "r" é o número de sucessos (i = 2 ou i = 3). Após fazer a soma das esperanças, é só derivar e igualar a zero a derivada, obtendo o ponto de máximo quando p = 1/2.

Assim que colocar no papel a resolução do exercicio dos meteorologistas, posto aqui.

Até mais.
Anexos
IMG_20160103_100258811.jpg
Exercicio das partidas
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.