Ajuda Matemática

Prezados, bom dia.

Estou estudando para uma prova de mestrado a qual aborda assuntos diversos em estatistica. Ao entrar em vaiaveis aleatorias me deparei com uma duvida constante na resolução de exericios que envolvem a maximização/minimização do valor esperado.

Meu maior problema está em encontrar a melhor ou a unica forma de fazer essa maximização. Tentei encontrar os valores derivando, fazendo comparações quando é acrescido uma unidade, pro diferença e de qualquer outro jeito que possam imaginar mas minha dificuldade persiste nesse tipo de problema.

Segue um exemplo (gostaria de, se possivel, postar outros para que eu posso entender a forma de resolver esse tipo de exercicio e possa tentar por conta propria em outros)

"Um jornaleiro compra jronais por 10 centavos e vende-os por 15 centavos. Entretanto, ele não pode retornar os jornais que não tiver vendido. Se sua demanda diária for uma variavel aleatoria binomial com n=10, p= 1/3, aproximademente quantos jornais ele deve comprar de forma a maximizar o lucro esperado?"

Muito obrigado. Agradeço se alguem tiver alguma dica para resolução desse tipo de exercicio também. Obrigado.

Olá guisore,
Segue,em anexo, uma ajuda.
Espero que ajude!

Lucio,

Muito obrigado pela ajuda!! Com certeza ajudou muito.

Uma dúvida, você teria uma sugestão para casos em que não seja possivel "fazer testes"?

Por exemplo para os casos abaixo:

EX1: Suponha que dois times joguem uma série de partidas que termina quando um deles tiver ganhado “i” partidas. Suponha que cada partida jogada seja, independentemente, vencida pelo time A com probabilidade p. Determine o número esperado de partidas jogadas quando (a) i = 2 (b) i = 3. Também, mostre em ambos os casos que este número é maximizado quando p=1/2.

Comentário: Fica evidente que, por exemplo, para (a) a V.A. X (número de partidas jogadas) assume os valores 2 ou 3, com probabilidade p² e 2*p² *(1 - p). Contudo depois que que obtenho a função que representa a esperança, a maximização não fica claro para mim.


EX2: A cada noite diferentes meteorologistas nos dão a probabilidade de chuva no dia seguinte. Para julgar quão boa é a previsão do tempo feita por essas pessoas, vamos classifica-las de forma a seguir: se um meteorologista diz que choverá com probabilidade p, então ele ou ela receberá uma nota de:

1 – (1 – p)² - se chover
1 – p² - se não chover

Vamos então anotar as notas ao longo de um determinado período de tempo e concluir que o meteorologista com a maior nota média é aquele que melhor prevê o tempo. Suponha agora que certo meteorologista esteja ciente de nosso mecanismo de notas e queira maximizar sua nota esperada. Se essa pessoa acredita verdadeiramente que choverá amanhã com probabilidade p*, que valor de p ele ou ela deve declarar de forma a maximizar a nota esperada?

De novo, muito obrigado pela ajuda.

Atenciosamente,

Guilherme

Olá Guilherme,
Segue, em anexo, a minha análise do exercício Ex.1 a)
Não estou muito certo se a maneira que usei para analisar o exercício é a mais adequada.
Espero que existam outras contribuições.

Prezados,

Muito Obrigado pela ajuda e pelos comentários.

Acabei encontrando a forma de resolver os dois exercicios (Segue a resolução do exercicio das partidas dos dois times). Para i=3 é só repetir o mesmo raciocinio.

Além dessa forma, é possível resolve-lo tendo em mente que dado que X e Y são variaveis aleatórias com distribuição de probabilidade de uma binomial negativa, a esperança de ambas serão dada por: E[X] = r/p e E[Y] = r/(1-p) em que "r" é o número de sucessos (i = 2 ou i = 3). Após fazer a soma das esperanças, é só derivar e igualar a zero a derivada, obtendo o ponto de máximo quando p = 1/2.

Assim que colocar no papel a resolução do exercicio dos meteorologistas, posto aqui.

Até mais.