[DISTRIBUIÇÃO NORMAL MULTIVARIADA] Esperança condicional

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[DISTRIBUIÇÃO NORMAL MULTIVARIADA] Esperança condicional

Mensagempor Ana Cristina » Qui Abr 02, 2015 17:01

Olá,

Estou trabalhando em um modelo e para resolvê-lo preciso calcular a esperança de uma variável normal, condicional a outras duas normais. Mais especificamente:

Tenho três variáveis normais, independentes entre si:
&f \sim N (0, \sigma^2_f)
&\eta \sim N (0, \sigma^2_{\eta})
&\epsilon \sim N (0, \sigma^2_{\epsilon})

A variável f é a que interessa aos agentes do modelo, mas eles não a observam. A cada período, observam apenas dois sinais, a partir dos quais procuram extrair informações sobre f:
S_1 & = f + \eta
S_2 & = f + \epsilon

Em geral: trabalho com modelos em que tenho apenas um sinal (por exemplo, S_1), a partir do qual calculo a esperança condicional E[f|S_1=s_1] considerando a distribuição conjunta, de modo que (sendo \rho o coeficiente de correlação):
E[f|S_1=s_1] & = E[f] + \frac{Cov[f,s_1]}{Var[s_1]} (s_1-E[s_1]) = E[f] + \rho \frac{\sigma_f}{\sigma_{s_1}} (s_1-E[s_1])

Porém, dessa vez preciso de E[f|S_1=s_1, S_2=s_2], a esperança condicional com três variáveis normais. Infelizmente, não estou conseguindo generalizar a fórmula para três ou mais variáveis.
Alguém poderia me ajudar com isso, por favor?
Desde já, agradeço a atenção!
Ana Cristina
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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