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Problema de mínimos quadrados

Problema de mínimos quadrados

Mensagempor brunozi » Ter Set 29, 2009 10:54

Olá, pessoal,

Estou com um problema que envolve a estimação de posição e orientação de um objeto no espaço 3D, a partir de sua projeção 2D, no caso, um frame de vídeo, supondo conhecida a posição e orientação no frame anterior.
O problema é o seguinte:

Tenho alguns pontos 3D do objeto no instante (t-1): {P}_{i, t - 1} = {[ {X}_{i, t - 1}  {Y}_{i, t - 1}  {Z}_{i, t - 1} 1 ]}^{T}

Tenho os correspondentes pontos 2D no instante t: {p}_{i, t} = {[ {x}_{i, t }  {y}_{i, t}  ]}^{T}

A transformação dos pontos do instante (t - 1) para o instante t é calculada por:
\begin{pmatrix}
   {X}_{t} \\ 
   {Y}_{t} \\ 
   {Z}_{t} \\ 
   1  
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
   1 & -\Delta\gamma & \Delta\beta & -\Delta{t}_{x} \\ 
   \Delta\gamma & 1 & -\Delta\alpha & -\Delta{t}_{y} \\ 
   -\Delta\beta & \Delta\alpha & 1 & -\Delta{t}_{z} \\ 
   0 & 0 & 0 & 1  
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
   {X}_{t - 1} \\ 
   {Y}_{t - 1} \\ 
   {Z}_{t - 1} \\ 
   1  
\end{pmatrix}

E a projecão 2D desses pontos é calculada por:
{{p}_{t}}^{\ast}  =
\begin{pmatrix}
   {x}_{t} \\ 
   {y}_{t} 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
   {X}_{t} \\ 
   {Y}_{t} 
\end{pmatrix}
.
\frac{f}{{Z}_{t}} =
\begin{pmatrix}
   {X}_{t - 1} - {Y}_{t - 1} \Delta\gamma + {Z}_{t - 1} \Delta\beta + \Delta{t}_{x} \\ 
   {X}_{t - 1} \Delta\gamma + {Y}_{t - 1} - {Z}_{t - 1} \Delta\alpha + \Delta{t}_{y}
\end{pmatrix}
. \frac{f}{{-X}_{t - 1} \Delta\beta + {Y}_{t - 1} \Delta\alpha + {Z}_{t - 1} + \Delta{t}_{z}}

O objetivo é encontrar o valor de \Delta\mu = {[\Delta\alpha \Delta\beta \Delta\gamma \Delta{t}_{x} \Delta{t}_{y} \Delta{t}_{z} ]}^{T} que minimize o erro: e = \sum_{i = 1}^{n} \left| \left| {p}_{t} - {{p}_{t}}^{\ast} \right| \right|

O problema é que ainda não consegui ver como aplicar mínimos quadrados a esse problema, que tem parâmetros tanto no numerados como no denominador.

É possível aplicar mínimos quadrados a um problema desse tipo? Como posso fazer isso? Ou, onde posso encontrar informações sobre como fazer isso?


Obrigado.
brunozi
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: