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Problema de mínimos quadrados

Problema de mínimos quadrados

Mensagempor brunozi » Ter Set 29, 2009 10:54

Olá, pessoal,

Estou com um problema que envolve a estimação de posição e orientação de um objeto no espaço 3D, a partir de sua projeção 2D, no caso, um frame de vídeo, supondo conhecida a posição e orientação no frame anterior.
O problema é o seguinte:

Tenho alguns pontos 3D do objeto no instante (t-1): {P}_{i, t - 1} = {[ {X}_{i, t - 1}  {Y}_{i, t - 1}  {Z}_{i, t - 1} 1 ]}^{T}

Tenho os correspondentes pontos 2D no instante t: {p}_{i, t} = {[ {x}_{i, t }  {y}_{i, t}  ]}^{T}

A transformação dos pontos do instante (t - 1) para o instante t é calculada por:
\begin{pmatrix}
   {X}_{t} \\ 
   {Y}_{t} \\ 
   {Z}_{t} \\ 
   1  
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
   1 & -\Delta\gamma & \Delta\beta & -\Delta{t}_{x} \\ 
   \Delta\gamma & 1 & -\Delta\alpha & -\Delta{t}_{y} \\ 
   -\Delta\beta & \Delta\alpha & 1 & -\Delta{t}_{z} \\ 
   0 & 0 & 0 & 1  
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
   {X}_{t - 1} \\ 
   {Y}_{t - 1} \\ 
   {Z}_{t - 1} \\ 
   1  
\end{pmatrix}

E a projecão 2D desses pontos é calculada por:
{{p}_{t}}^{\ast}  =
\begin{pmatrix}
   {x}_{t} \\ 
   {y}_{t} 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
   {X}_{t} \\ 
   {Y}_{t} 
\end{pmatrix}
.
\frac{f}{{Z}_{t}} =
\begin{pmatrix}
   {X}_{t - 1} - {Y}_{t - 1} \Delta\gamma + {Z}_{t - 1} \Delta\beta + \Delta{t}_{x} \\ 
   {X}_{t - 1} \Delta\gamma + {Y}_{t - 1} - {Z}_{t - 1} \Delta\alpha + \Delta{t}_{y}
\end{pmatrix}
. \frac{f}{{-X}_{t - 1} \Delta\beta + {Y}_{t - 1} \Delta\alpha + {Z}_{t - 1} + \Delta{t}_{z}}

O objetivo é encontrar o valor de \Delta\mu = {[\Delta\alpha \Delta\beta \Delta\gamma \Delta{t}_{x} \Delta{t}_{y} \Delta{t}_{z} ]}^{T} que minimize o erro: e = \sum_{i = 1}^{n} \left| \left| {p}_{t} - {{p}_{t}}^{\ast} \right| \right|

O problema é que ainda não consegui ver como aplicar mínimos quadrados a esse problema, que tem parâmetros tanto no numerados como no denominador.

É possível aplicar mínimos quadrados a um problema desse tipo? Como posso fazer isso? Ou, onde posso encontrar informações sobre como fazer isso?


Obrigado.
brunozi
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}