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Problema de mínimos quadrados

Problema de mínimos quadrados

Mensagempor brunozi » Ter Set 29, 2009 10:54

Olá, pessoal,

Estou com um problema que envolve a estimação de posição e orientação de um objeto no espaço 3D, a partir de sua projeção 2D, no caso, um frame de vídeo, supondo conhecida a posição e orientação no frame anterior.
O problema é o seguinte:

Tenho alguns pontos 3D do objeto no instante (t-1): {P}_{i, t - 1} = {[ {X}_{i, t - 1}  {Y}_{i, t - 1}  {Z}_{i, t - 1} 1 ]}^{T}

Tenho os correspondentes pontos 2D no instante t: {p}_{i, t} = {[ {x}_{i, t }  {y}_{i, t}  ]}^{T}

A transformação dos pontos do instante (t - 1) para o instante t é calculada por:
\begin{pmatrix}
   {X}_{t} \\ 
   {Y}_{t} \\ 
   {Z}_{t} \\ 
   1  
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
   1 & -\Delta\gamma & \Delta\beta & -\Delta{t}_{x} \\ 
   \Delta\gamma & 1 & -\Delta\alpha & -\Delta{t}_{y} \\ 
   -\Delta\beta & \Delta\alpha & 1 & -\Delta{t}_{z} \\ 
   0 & 0 & 0 & 1  
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
   {X}_{t - 1} \\ 
   {Y}_{t - 1} \\ 
   {Z}_{t - 1} \\ 
   1  
\end{pmatrix}

E a projecão 2D desses pontos é calculada por:
{{p}_{t}}^{\ast}  =
\begin{pmatrix}
   {x}_{t} \\ 
   {y}_{t} 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
   {X}_{t} \\ 
   {Y}_{t} 
\end{pmatrix}
.
\frac{f}{{Z}_{t}} =
\begin{pmatrix}
   {X}_{t - 1} - {Y}_{t - 1} \Delta\gamma + {Z}_{t - 1} \Delta\beta + \Delta{t}_{x} \\ 
   {X}_{t - 1} \Delta\gamma + {Y}_{t - 1} - {Z}_{t - 1} \Delta\alpha + \Delta{t}_{y}
\end{pmatrix}
. \frac{f}{{-X}_{t - 1} \Delta\beta + {Y}_{t - 1} \Delta\alpha + {Z}_{t - 1} + \Delta{t}_{z}}

O objetivo é encontrar o valor de \Delta\mu = {[\Delta\alpha \Delta\beta \Delta\gamma \Delta{t}_{x} \Delta{t}_{y} \Delta{t}_{z} ]}^{T} que minimize o erro: e = \sum_{i = 1}^{n} \left| \left| {p}_{t} - {{p}_{t}}^{\ast} \right| \right|

O problema é que ainda não consegui ver como aplicar mínimos quadrados a esse problema, que tem parâmetros tanto no numerados como no denominador.

É possível aplicar mínimos quadrados a um problema desse tipo? Como posso fazer isso? Ou, onde posso encontrar informações sobre como fazer isso?


Obrigado.
brunozi
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.