Problema de mínimos quadrados

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Problema de mínimos quadrados

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Problema de mínimos quadrados

Mensagempor brunozi » Ter Set 29, 2009 10:54

Olá, pessoal,

Estou com um problema que envolve a estimação de posição e orientação de um objeto no espaço 3D, a partir de sua projeção 2D, no caso, um frame de vídeo, supondo conhecida a posição e orientação no frame anterior.
O problema é o seguinte:

Tenho alguns pontos 3D do objeto no instante (t-1): {P}_{i, t - 1} = {[ {X}_{i, t - 1} {Y}_{i, t - 1} {Z}_{i, t - 1} 1 ]}^{T}

Tenho os correspondentes pontos 2D no instante t: {p}_{i, t} = {[ {x}_{i, t } {y}_{i, t} ]}^{T}

A transformação dos pontos do instante (t - 1) para o instante t é calculada por:
\begin{pmatrix} {X}_{t} \\ {Y}_{t} \\ {Z}_{t} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\Delta\gamma & \Delta\beta & -\Delta{t}_{x} \\ \Delta\gamma & 1 & -\Delta\alpha & -\Delta{t}_{y} \\ -\Delta\beta & \Delta\alpha & 1 & -\Delta{t}_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} {X}_{t - 1} \\ {Y}_{t - 1} \\ {Z}_{t - 1} \\ 1 \end{pmatrix}

E a projecão 2D desses pontos é calculada por:
{{p}_{t}}^{\ast} = \begin{pmatrix} {x}_{t} \\ {y}_{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {X}_{t} \\ {Y}_{t} \end{pmatrix} . \frac{f}{{Z}_{t}} = \begin{pmatrix} {X}_{t - 1} - {Y}_{t - 1} \Delta\gamma + {Z}_{t - 1} \Delta\beta + \Delta{t}_{x} \\ {X}_{t - 1} \Delta\gamma + {Y}_{t - 1} - {Z}_{t - 1} \Delta\alpha + \Delta{t}_{y} \end{pmatrix} . \frac{f}{{-X}_{t - 1} \Delta\beta + {Y}_{t - 1} \Delta\alpha + {Z}_{t - 1} + \Delta{t}_{z}}

O objetivo é encontrar o valor de \Delta\mu = {[\Delta\alpha \Delta\beta \Delta\gamma \Delta{t}_{x} \Delta{t}_{y} \Delta{t}_{z} ]}^{T} que minimize o erro: e = \sum_{i = 1}^{n} \left| \left| {p}_{t} - {{p}_{t}}^{\ast} \right| \right|

O problema é que ainda não consegui ver como aplicar mínimos quadrados a esse problema, que tem parâmetros tanto no numerados como no denominador.

É possível aplicar mínimos quadrados a um problema desse tipo? Como posso fazer isso? Ou, onde posso encontrar informações sobre como fazer isso?


Obrigado.
brunozi
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.

Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:

Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?


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