Problema de mínimos quadrados

por **brunozi** » Ter Set 29, 2009 10:54

Olá, pessoal,

Estou com um problema que envolve a estimação de posição e orientação de um objeto no espaço 3D, a partir de sua projeção 2D, no caso, um frame de vídeo, supondo conhecida a posição e orientação no frame anterior.
O problema é o seguinte:

Tenho alguns pontos 3D do objeto no instante (t-1): ${P}_{i, t - 1} = {[ {X}_{i, t - 1} {Y}_{i, t - 1} {Z}_{i, t - 1} 1 ]}^{T}$

Tenho os correspondentes pontos 2D no instante t: ${p}_{i, t} = {[ {x}_{i, t } {y}_{i, t} ]}^{T}$

A transformação dos pontos do instante (t - 1) para o instante t é calculada por:
$\begin{pmatrix} {X}_{t} \\ {Y}_{t} \\ {Z}_{t} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\Delta\gamma & \Delta\beta & -\Delta{t}_{x} \\ \Delta\gamma & 1 & -\Delta\alpha & -\Delta{t}_{y} \\ -\Delta\beta & \Delta\alpha & 1 & -\Delta{t}_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} {X}_{t - 1} \\ {Y}_{t - 1} \\ {Z}_{t - 1} \\ 1 \end{pmatrix}$

E a projecão 2D desses pontos é calculada por:
${{p}_{t}}^{\ast} = \begin{pmatrix} {x}_{t} \\ {y}_{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {X}_{t} \\ {Y}_{t} \end{pmatrix} . \frac{f}{{Z}_{t}}$ $= \begin{pmatrix} {X}_{t - 1} - {Y}_{t - 1} \Delta\gamma + {Z}_{t - 1} \Delta\beta + \Delta{t}_{x} \\ {X}_{t - 1} \Delta\gamma + {Y}_{t - 1} - {Z}_{t - 1} \Delta\alpha + \Delta{t}_{y} \end{pmatrix} . \frac{f}{{-X}_{t - 1} \Delta\beta + {Y}_{t - 1} \Delta\alpha + {Z}_{t - 1} + \Delta{t}_{z}}$

O objetivo é encontrar o valor de $\Delta\mu = {[\Delta\alpha \Delta\beta \Delta\gamma \Delta{t}_{x} \Delta{t}_{y} \Delta{t}_{z} ]}^{T}$ que minimize o erro: $e = \sum_{i = 1}^{n} \left| \left| {p}_{t} - {{p}_{t}}^{\ast} \right| \right|$

O problema é que ainda não consegui ver como aplicar mínimos quadrados a esse problema, que tem parâmetros tanto no numerados como no denominador.

É possível aplicar mínimos quadrados a um problema desse tipo? Como posso fazer isso? Ou, onde posso encontrar informações sobre como fazer isso?

Obrigado.

Problema de mínimos quadrados

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