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sistemas lineares

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Mensagempor silvia fillet » Qua Jun 13, 2012 11:23

Considere que três pessoas, Pedro, Carlos e João tem a seguinte relação entre seus salários:

i – Duas vezes o salário de Carlos, menos o salário de João, menos o salário de Pedro é igual a R$ 3000,00.
ii – A soma do salário das três pessoas é igual a R$ 6000,00.
iii – O salário de Pedro, mais duas vezes o salário de João, mais duas vezes o salário de Carlos é igual a R$ 11000,00.


a) Escreva o sistema de equações que representa a relação entre os salários de Pedro, Carlos e João.
b) Escreva a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema de equações obtido no item anterior
c) Através do escalonamento da matriz ampliada, reescreva o sistema de equações na forma matricial de maneira que a matriz dos coeficientes esteja na forma triangular superior.
d) Com o resultado do item anterior, obtenha os salários de Pedro, Carlos e João
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Re: sistemas lineares

Mensagempor silvia fillet » Qua Jun 13, 2012 11:27

Bom, comecei assim:
Pedro = x
Carlos = y
João = z


Sistema linear:

-x +2y -z = 3000
x +y +z =6000
x +2y +2z = 11000

matriz aumentada
-1 2 -1 3000
1 1 1 6000
1 2 2 11000


Seria isso para iniciar?
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Re: sistemas lineares

Mensagempor Cleyson007 » Qua Jun 13, 2012 12:22

Bom dia Silvia!

Isso mesmo :y:

Agora tente resolver o restante.

Quanto ao exercício d, utilize o sistema obtido na letra a para resolvê-lo ok?

Comente qualquer dúvida.

Até mais.
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Re: sistemas lineares

Mensagempor silvia fillet » Qua Jun 13, 2012 13:19

Será que posso multiplicar por -1 a primeira equaçao, ficando assim:

1 -2 1 -3000
1 1 1 6000
1 2 2 11000

porque daí enrosquei?
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Re: sistemas lineares

Mensagempor silvia fillet » Qua Jun 13, 2012 13:32

bom resolvi assim:

1 -2 1 -3000
1 1 1 6000
1 2 2 11000

dai fiz L2-L1 e L3 -L1

1 -2 1 -3000
0 3 0 9000
0 4 1 14000

dai o sistema

x -2y +z = -3000
0x +3y +0z = 9000
0x +4y +z = 14000


daí encontrei

y = 3000
z = 2000
x = 1000

seria isso?
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Re: sistemas lineares

Mensagempor Cleyson007 » Qua Jun 13, 2012 20:29

Boa noite Sílvia!

Sílvia, são muitas as formas para se resolver exercícios desse tipo..

Sua resposta está correta :y:

Bom, eu utilizaria o método da adição começando pelas duas primeira equações, pois eliminaria o "x" e o '"z" encontrando o valor de y.

Espero ter ajudado.

Até mais.
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Re: sistemas lineares

Mensagempor silvia fillet » Qua Jun 13, 2012 22:19

Eu também acho mais fácil calcular pela adição e subtracção, só que o exercício pede escalonamento matricial
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Re: sistemas lineares

Mensagempor DanielFerreira » Qui Jun 14, 2012 20:13

silvia fillet escreveu:Considere que três pessoas, Pedro, Carlos e João tem a seguinte relação entre seus salários:

i – Duas vezes o salário de Carlos, menos o salário de João, menos o salário de Pedro é igual a R$ 3000,00.
ii – A soma do salário das três pessoas é igual a R$ 6000,00.
iii – O salário de Pedro, mais duas vezes o salário de João, mais duas vezes o salário de Carlos é igual a R$ 11000,00.


a) Escreva o sistema de equações que representa a relação entre os salários de Pedro, Carlos e João.

\begin{Bmatrix}
   - x + 2y - z = 3000  \\ 
   x + y + z = 6000 \\
   x + 2y + 2z = 11000
\end{matrix}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Re: sistemas lineares

Mensagempor DanielFerreira » Qui Jun 14, 2012 20:15

silvia fillet escreveu:Considere que três pessoas, Pedro, Carlos e João tem a seguinte relação entre seus salários:

i – Duas vezes o salário de Carlos, menos o salário de João, menos o salário de Pedro é igual a R$ 3000,00.
ii – A soma do salário das três pessoas é igual a R$ 6000,00.
iii – O salário de Pedro, mais duas vezes o salário de João, mais duas vezes o salário de Carlos é igual a R$ 11000,00.



b) Escreva a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema de equações obtido no item anterior

\begin{pmatrix}
   - 1 & 2 & - 1 & | & 3000  \\ 
   1 & 1 & 1 & | & 6000 \\
   1 & 2 & 2 & | & 11000 
\end{pmatrix}
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Re: sistemas lineares

Mensagempor DanielFerreira » Qui Jun 14, 2012 20:22

silvia fillet escreveu:c) Através do escalonamento da matriz ampliada, reescreva o sistema de equações na forma matricial de maneira que a matriz dos coeficientes esteja na forma triangular superior.

\begin{pmatrix}
   - 1 & 2 & - 1 & | & 3000  \\ 
   1 & 1 & 1 & | & 6000 \\
   1 & 2 & 2 & | & 11000 
\end{pmatrix}

==> Fazendo L_1 + L_2, fica:

\begin{pmatrix}
   - 1 & 2 & - 1 & | & 3000  \\ 
   0 & 3 & 0 & | & 9000 \\
   1 & 2 & 2 & | & 11000 
\end{pmatrix}

==> Fazendo L_1 + L_3, fica:

\begin{pmatrix}
   - 1 & 2 & - 1 & | & 3000  \\ 
   0 & 3 & 0 & | & 9000 \\
   0 & 4 & 1 & | & 14000 
\end{pmatrix}

==> Fazendo 3.L_3  - 4.L_2, fica:

\begin{pmatrix}
   - 1 & 2 & - 1 & | & 3000  \\ 
   0 & 3 & 0 & | & 9000 \\
   0 & 0 & 3 & | & 6000 
\end{pmatrix}
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habilidade é saber como fazer;
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Re: sistemas lineares

Mensagempor DanielFerreira » Qui Jun 14, 2012 20:24

silvia fillet escreveu:d) Com o resultado do item anterior, obtenha os salários de Pedro, Carlos e João

\begin{pmatrix}
   - 1 & 2 & - 1 & | & 3000  \\ 
   0 & 3 & 0 & | & 9000 \\
   0 & 0 & 3 & | & 6000 
\end{pmatrix}

3z = 6000
z = R$ 2.000,00

3y = 9000
y = R$ 3.000,00

- x + 2y - z = 3000
x = 2y - z - 3000
x = 6000 - 2000 - 3000
x = R$ 1.000,00
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D