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Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

Mensagempor Cleyson007 » Sáb Mai 03, 2008 01:50

Olá, tudo bem?
Gostaria de saber se o modo que eu utilizei para resolver esse sistema linear está correto. Desde já agradeço, que Deus lhe abençoe.

O sistema é o seguinte:

2x-y+z=4 I
x+2y+z=1 II
x+y+2z=3 III

Da I com a II: Adicionei -2 a II equação para cortar o x, obtendo a equação: -5y-z=2 IV
Da I com a III: Em seguida adicionei -2 a III para cortar o x, obtendo a equação: -3y-3z=-2 IV
Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9.
Substitui o valor de y na IV equação achando z= -28/9.
Substitui os valores de z e y na I equação, obtendo x= 31/9.
S:(31/9,-2/9,-28/9)
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor admin » Sáb Mai 03, 2008 02:35

Olá Cleyson, boa noite, tudo bem!

\left\{\begin{matrix}
   2x-y+z= 4 &\;\;\;(I)\\ 
   x+2y+z=1 &\;\;\;(II)\\
   x+y+2z=3 & \;\;\;(III)
\end{matrix}\right.


Cleyson007 escreveu:Da I com a II: Adicionei -2 a II equação para cortar o x, obtendo a equação: -5y-z=2 IV

Aqui, não é verdade que você adicionou -2 à equação II, de fato, você multiplicou por -2 os dois membros da equação II e em seguida somou as equações I e II, obtendo sua equação IV.

Cleyson007 escreveu:Da I com a III: Em seguida adicionei -2 a III para cortar o x, obtendo a equação: -3y-3z=-2 IV

Aqui vale o mesmo comentário, você multiplicou por -2 a equação III e somou com a equação I, obtendo a equação V.

Cleyson007 escreveu:Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9.

Cleyson, acredito que aqui sua intenção foi multiplicar por -3 os dois membros da equação IV e somá-la com a equação V, assim poderá obter y pois 3z-3z=0.
Refaça as contas a partir deste passo para obter a solução.


Vale ressaltar que há vários modos de resolver.
Inclusive, o sistema pode ser escrito na forma matricial, como o produto entre duas matrizes.
O método que você está utilizando é de escalonamento, pois obtém um outro sistema equivalente, já escalonado.
Veja um exemplo de sistema equivalente ao inicial, escalonado:
\left\{\begin{tabular}{rl}
   2x-y+z&= 4\\ 
     -5y-z&= 2\\
        -6z&= -8
\end{tabular}
\right.
A partir daqui, a solução pode ser obtida por substituição.


Comente qualquer dúvida.
Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor Cleyson007 » Dom Mai 04, 2008 01:40

Olá Fábio Sousa, realmente quando eu disse: Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9, descuidei-me, a intenção era de multiplicar por -3.
Aqui a refaço de novo:
-5y-z=2 IV
-3y-3z=-2 V
Multipliquei por -3 a equação IV para cortar o z, e achei o valor de y= -2/3.
Substituindo y na IV equação encontrei z= 4/3.
Substituindo os valores de y e z na I equação encontrei x= 1.
Espero que seja isso!!! S: (1, -2/3, 4/3).
Muito obrigado por me ajudar em meus estudos, que Deus lhe abençoe.
Um forte abraço, boa noite.
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor admin » Dom Mai 04, 2008 13:51

Olá Cleyson!

Também obtive este conjunto-solução.
Apenas completando um comentário anterior sobre a forma matricial, este sistema também pode ser escrito assim, considerando a definição de produto de matrizes:

\begin{bmatrix}
   2 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
   x \\ 
   y \\
   z 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   4 \\ 
   1 \\
   3 
\end{bmatrix}


Como o número de equações é igual ao número de incógnitas, também podemos resolver através de determinantes, pelo teorema de Cramer, considerando o determinante da matriz dos coeficientes que é quadrada:

D=
\begin{vmatrix}
   2 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 2
\end{vmatrix}

Se D \neq 0, o sistema tem solução única S=(x, y, z), sendo:

x = \frac{D_1}{D}

y = \frac{D_2}{D}

z = \frac{D_3}{D}


Onde D_i é o determinante da matriz obtida a partir da matriz dos coeficientes, substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

D=
\begin{vmatrix}
   2 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 2
\end{vmatrix}
=8+1-1-2-2+2=6 \neq 0 (então, o sistema possui solução única)


D_1=
\begin{vmatrix}
   4 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   3 & 1 & 2
\end{vmatrix}
=16+1-3-6-4+2=6

D_2=
\begin{vmatrix}
   2 & 4 & 1 \\ 
   1 & 1 & 1 \\
   1 & 3 & 2
\end{vmatrix}
=4+3+4-1-6-8=-4

D_3=
\begin{vmatrix}
   2 & -1 & 4 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 3
\end{vmatrix}
=12+4-1-8-2+3=8


Então, confirmando a solução já obtida:

x = \frac{D_1}{D} = \frac{6}{6} = 1

y = \frac{D_2}{D} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}

z = \frac{D_3}{D} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

S = \left( 1 \;,\; -\frac{2}{3} \;,\; \frac{4}{3} \right)

Vale estudar o teorema de Cramer, especialmente para resolver sistemas lineares com mais de 3 equações.
Bons estudos!
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?