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Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

Mensagempor Cleyson007 » Sáb Mai 03, 2008 01:50

Olá, tudo bem?
Gostaria de saber se o modo que eu utilizei para resolver esse sistema linear está correto. Desde já agradeço, que Deus lhe abençoe.

O sistema é o seguinte:

2x-y+z=4 I
x+2y+z=1 II
x+y+2z=3 III

Da I com a II: Adicionei -2 a II equação para cortar o x, obtendo a equação: -5y-z=2 IV
Da I com a III: Em seguida adicionei -2 a III para cortar o x, obtendo a equação: -3y-3z=-2 IV
Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9.
Substitui o valor de y na IV equação achando z= -28/9.
Substitui os valores de z e y na I equação, obtendo x= 31/9.
S:(31/9,-2/9,-28/9)
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor admin » Sáb Mai 03, 2008 02:35

Olá Cleyson, boa noite, tudo bem!

\left\{\begin{matrix}
   2x-y+z= 4 &\;\;\;(I)\\ 
   x+2y+z=1 &\;\;\;(II)\\
   x+y+2z=3 & \;\;\;(III)
\end{matrix}\right.


Cleyson007 escreveu:Da I com a II: Adicionei -2 a II equação para cortar o x, obtendo a equação: -5y-z=2 IV

Aqui, não é verdade que você adicionou -2 à equação II, de fato, você multiplicou por -2 os dois membros da equação II e em seguida somou as equações I e II, obtendo sua equação IV.

Cleyson007 escreveu:Da I com a III: Em seguida adicionei -2 a III para cortar o x, obtendo a equação: -3y-3z=-2 IV

Aqui vale o mesmo comentário, você multiplicou por -2 a equação III e somou com a equação I, obtendo a equação V.

Cleyson007 escreveu:Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9.

Cleyson, acredito que aqui sua intenção foi multiplicar por -3 os dois membros da equação IV e somá-la com a equação V, assim poderá obter y pois 3z-3z=0.
Refaça as contas a partir deste passo para obter a solução.


Vale ressaltar que há vários modos de resolver.
Inclusive, o sistema pode ser escrito na forma matricial, como o produto entre duas matrizes.
O método que você está utilizando é de escalonamento, pois obtém um outro sistema equivalente, já escalonado.
Veja um exemplo de sistema equivalente ao inicial, escalonado:
\left\{\begin{tabular}{rl}
   2x-y+z&= 4\\ 
     -5y-z&= 2\\
        -6z&= -8
\end{tabular}
\right.
A partir daqui, a solução pode ser obtida por substituição.


Comente qualquer dúvida.
Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor Cleyson007 » Dom Mai 04, 2008 01:40

Olá Fábio Sousa, realmente quando eu disse: Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9, descuidei-me, a intenção era de multiplicar por -3.
Aqui a refaço de novo:
-5y-z=2 IV
-3y-3z=-2 V
Multipliquei por -3 a equação IV para cortar o z, e achei o valor de y= -2/3.
Substituindo y na IV equação encontrei z= 4/3.
Substituindo os valores de y e z na I equação encontrei x= 1.
Espero que seja isso!!! S: (1, -2/3, 4/3).
Muito obrigado por me ajudar em meus estudos, que Deus lhe abençoe.
Um forte abraço, boa noite.
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor admin » Dom Mai 04, 2008 13:51

Olá Cleyson!

Também obtive este conjunto-solução.
Apenas completando um comentário anterior sobre a forma matricial, este sistema também pode ser escrito assim, considerando a definição de produto de matrizes:

\begin{bmatrix}
   2 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
   x \\ 
   y \\
   z 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   4 \\ 
   1 \\
   3 
\end{bmatrix}


Como o número de equações é igual ao número de incógnitas, também podemos resolver através de determinantes, pelo teorema de Cramer, considerando o determinante da matriz dos coeficientes que é quadrada:

D=
\begin{vmatrix}
   2 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 2
\end{vmatrix}

Se D \neq 0, o sistema tem solução única S=(x, y, z), sendo:

x = \frac{D_1}{D}

y = \frac{D_2}{D}

z = \frac{D_3}{D}


Onde D_i é o determinante da matriz obtida a partir da matriz dos coeficientes, substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

D=
\begin{vmatrix}
   2 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 2
\end{vmatrix}
=8+1-1-2-2+2=6 \neq 0 (então, o sistema possui solução única)


D_1=
\begin{vmatrix}
   4 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   3 & 1 & 2
\end{vmatrix}
=16+1-3-6-4+2=6

D_2=
\begin{vmatrix}
   2 & 4 & 1 \\ 
   1 & 1 & 1 \\
   1 & 3 & 2
\end{vmatrix}
=4+3+4-1-6-8=-4

D_3=
\begin{vmatrix}
   2 & -1 & 4 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 3
\end{vmatrix}
=12+4-1-8-2+3=8


Então, confirmando a solução já obtida:

x = \frac{D_1}{D} = \frac{6}{6} = 1

y = \frac{D_2}{D} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}

z = \frac{D_3}{D} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

S = \left( 1 \;,\; -\frac{2}{3} \;,\; \frac{4}{3} \right)

Vale estudar o teorema de Cramer, especialmente para resolver sistemas lineares com mais de 3 equações.
Bons estudos!
Fábio Sousa
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Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


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Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: