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Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

Mensagempor Cleyson007 » Sáb Mai 03, 2008 01:50

Olá, tudo bem?
Gostaria de saber se o modo que eu utilizei para resolver esse sistema linear está correto. Desde já agradeço, que Deus lhe abençoe.

O sistema é o seguinte:

2x-y+z=4 I
x+2y+z=1 II
x+y+2z=3 III

Da I com a II: Adicionei -2 a II equação para cortar o x, obtendo a equação: -5y-z=2 IV
Da I com a III: Em seguida adicionei -2 a III para cortar o x, obtendo a equação: -3y-3z=-2 IV
Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9.
Substitui o valor de y na IV equação achando z= -28/9.
Substitui os valores de z e y na I equação, obtendo x= 31/9.
S:(31/9,-2/9,-28/9)
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor admin » Sáb Mai 03, 2008 02:35

Olá Cleyson, boa noite, tudo bem!

\left\{\begin{matrix}
   2x-y+z= 4 &\;\;\;(I)\\ 
   x+2y+z=1 &\;\;\;(II)\\
   x+y+2z=3 & \;\;\;(III)
\end{matrix}\right.


Cleyson007 escreveu:Da I com a II: Adicionei -2 a II equação para cortar o x, obtendo a equação: -5y-z=2 IV

Aqui, não é verdade que você adicionou -2 à equação II, de fato, você multiplicou por -2 os dois membros da equação II e em seguida somou as equações I e II, obtendo sua equação IV.

Cleyson007 escreveu:Da I com a III: Em seguida adicionei -2 a III para cortar o x, obtendo a equação: -3y-3z=-2 IV

Aqui vale o mesmo comentário, você multiplicou por -2 a equação III e somou com a equação I, obtendo a equação V.

Cleyson007 escreveu:Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9.

Cleyson, acredito que aqui sua intenção foi multiplicar por -3 os dois membros da equação IV e somá-la com a equação V, assim poderá obter y pois 3z-3z=0.
Refaça as contas a partir deste passo para obter a solução.


Vale ressaltar que há vários modos de resolver.
Inclusive, o sistema pode ser escrito na forma matricial, como o produto entre duas matrizes.
O método que você está utilizando é de escalonamento, pois obtém um outro sistema equivalente, já escalonado.
Veja um exemplo de sistema equivalente ao inicial, escalonado:
\left\{\begin{tabular}{rl}
   2x-y+z&= 4\\ 
     -5y-z&= 2\\
        -6z&= -8
\end{tabular}
\right.
A partir daqui, a solução pode ser obtida por substituição.


Comente qualquer dúvida.
Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor Cleyson007 » Dom Mai 04, 2008 01:40

Olá Fábio Sousa, realmente quando eu disse: Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9, descuidei-me, a intenção era de multiplicar por -3.
Aqui a refaço de novo:
-5y-z=2 IV
-3y-3z=-2 V
Multipliquei por -3 a equação IV para cortar o z, e achei o valor de y= -2/3.
Substituindo y na IV equação encontrei z= 4/3.
Substituindo os valores de y e z na I equação encontrei x= 1.
Espero que seja isso!!! S: (1, -2/3, 4/3).
Muito obrigado por me ajudar em meus estudos, que Deus lhe abençoe.
Um forte abraço, boa noite.
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor admin » Dom Mai 04, 2008 13:51

Olá Cleyson!

Também obtive este conjunto-solução.
Apenas completando um comentário anterior sobre a forma matricial, este sistema também pode ser escrito assim, considerando a definição de produto de matrizes:

\begin{bmatrix}
   2 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
   x \\ 
   y \\
   z 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   4 \\ 
   1 \\
   3 
\end{bmatrix}


Como o número de equações é igual ao número de incógnitas, também podemos resolver através de determinantes, pelo teorema de Cramer, considerando o determinante da matriz dos coeficientes que é quadrada:

D=
\begin{vmatrix}
   2 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 2
\end{vmatrix}

Se D \neq 0, o sistema tem solução única S=(x, y, z), sendo:

x = \frac{D_1}{D}

y = \frac{D_2}{D}

z = \frac{D_3}{D}


Onde D_i é o determinante da matriz obtida a partir da matriz dos coeficientes, substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

D=
\begin{vmatrix}
   2 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 2
\end{vmatrix}
=8+1-1-2-2+2=6 \neq 0 (então, o sistema possui solução única)


D_1=
\begin{vmatrix}
   4 & -1 & 1 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   3 & 1 & 2
\end{vmatrix}
=16+1-3-6-4+2=6

D_2=
\begin{vmatrix}
   2 & 4 & 1 \\ 
   1 & 1 & 1 \\
   1 & 3 & 2
\end{vmatrix}
=4+3+4-1-6-8=-4

D_3=
\begin{vmatrix}
   2 & -1 & 4 \\ 
   1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 3
\end{vmatrix}
=12+4-1-8-2+3=8


Então, confirmando a solução já obtida:

x = \frac{D_1}{D} = \frac{6}{6} = 1

y = \frac{D_2}{D} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}

z = \frac{D_3}{D} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

S = \left( 1 \;,\; -\frac{2}{3} \;,\; \frac{4}{3} \right)

Vale estudar o teorema de Cramer, especialmente para resolver sistemas lineares com mais de 3 equações.
Bons estudos!
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D