exercicio resolvido

por **adauto martins** » Qui Mai 27, 2021 17:05

(*EsTE/ITA-1948)resolva o sistema

$\begin{align} 5x -2y +3z&= 2 \\ 3x +y +4z&= -1 \\ 4x -3y +z&= 3 \end{align}$

*EsTE-escola tecnica do exercito, 1933/1957.advinda da antiga REAL ACADEMIA DE FORTIFICAÇAO,ARTILHARIA E DESENHO de 1792,a primeira escola de engenharia do BRASIL,e primeiro curso superior no BRASIL,ainda colonia.formando os primeiros engenheiros,tanto militares,como civis.o curso de engenharia aeronautica foi instituindo em 1939,na EsTE,e depois apartir de 1950,no atual ITA-sao jose dos campos.o concurso de admisao ao ita,ainda prestado na Este,foi apartir de 1947/49.a EsTE foi os pilares do ITA-1950 e IME,1958.

por **adauto martins** » Qui Mai 27, 2021 17:22

soluçao

tomemos a matriz completa do sistema

$A*= \begin{pmatrix} 5 & -2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 4 & -1 \\ 4 & -3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

escalonando(fica como exercicio),teremos

$A*= \begin{pmatrix} 5 & -2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 4 & -1 \\ 4 & -3 & 1 & 3 \end{pmatrix}=...= \begin{pmatrix} 5 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 11/5 & 11/5 & -11/5 \\ 0 & -7/5 & -7/5 & 7/5 \\ \end{pmatrix}$

retorndo ao sistema,depois de escolando teremos

5x-2y+3z=2

y+z=-z

resolvendo em z
x=-z...y=-(1+z)...

tomando
$z=a,a\in\Re$
logo
(-a,-(1+a),a)

o conjunto soluçao do sistema...

por **DanielFerreira** » Sáb Jun 19, 2021 21:52

Outra...

De acordo com o enunciado,

$\begin{cases} \mathtt{5x - 2y + 3z = 2 \qquad \ (i)} \\ \mathtt{3x + y + 4z = - 1 \qquad (ii)} \\ \mathtt{4x - 3y + z = 3 \ \ \qquad (iii)} \end{cases}$

Note que:

$\mathtt{2 \cdot (i) + (ii) = (iii)}$

Daí,

$\\ \mathtt{2 \cdot 2 + (- 1) = 3} \\ \mathtt{2 \cdot (5x - 2y + 3z) + (3x + y + 4z) = 4x - 3y + z} \\ \mathtt{10x + 3x - 4y + y + 6z + 4z = 4x - 3y + z} \\ \mathtt{13x - 3y + 10z = 4x - 3y + z} \\ \mathtt{9x = - 9z} \\ \boxed{\mathtt{x = - z}}$

Substituindo em $\mathtt{(i)}$ e $\mathtt{(ii)}$ ,

$\\ \begin{cases} \mathtt{5x - 2y - 3z = 2} \\ \mathtt{3x + y - 4x = - 1} \end{cases} \\\\ \begin{cases} \mathtt{2x - 2y = 2} \\ \mathtt{- x + y = - 1} \end{cases} \\ ------- \\ \mathtt{2x - x - 2y + y = 2 - 1} \\ \boxed{\mathtt{x = y + 1}}$

Portanto, $\mathtt{\forall \ t \in \mathbb{R}}$ , temos que $\boxed{\boxed{\mathtt{S = \left \{ \left ( t, t - 1, - t \right ) \right \}}}}$ é a solução do sistema em questão.

por **adauto martins** » Ter Jun 22, 2021 15:04

meu caro daniel,
esse exercicio consta nos seguites livros:
1)fundamentos de matematica elementar-vol.4-gelson iezzi,samuel hazzan,edicao 1977/81;
pg.140-d exercicio d-279,resposta pg.170-d;que é a mesma que fiz e postei.
2)matematica para o segundo ano colegial-ary quintela-ediçao ?.a mesma resposta que fiz.
3)apostila para preparaçao ao ITA-colegio couto baiense,rj.ano?.a mesma resposta que fiz...
nao inspecionei sua soluçao,creio estar errada...

por **DanielFerreira** » Ter Jun 22, 2021 16:25

Adauto, ambas estão corretas!

O sistema é indeterminado. Há mais de uma maneira de representar o conjunto-solução... Note que para $\mathtt{t = - 1}$ , na minha resolução, o terno $\mathtt{(- 1, - 2, 1)}$ é uma das soluções do sistema dado. Por conseguinte, repare que $\mathtt{a = 1}$ , na sua resolução, retorna a mesma coordenada que encontrei fazendo $\mathtt{t}$ igual a um.

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