[Sistema de equações] Expressões trigonométricas

por **natanaelvoss** » Qua Dez 05, 2012 21:03

Dado o sitema $\left\{\begin{matrix} x(1 + sen\alpha ) = 0 \\ x + ysen\alpha = 2 \end{matrix}\right$ e sabendo que esse sistema possui uma solução (x,y), onde y = 0, o valor de ? é?

O gabarito é: $\frac{3\pi}{2}+ 2k\pi , k \in \mathbb{Z}$

Não estou conseguindo chegar na resposta do gabarito, e não entendo de onde vem o ' k '.

por **e8group** » Qua Dez 05, 2012 21:51

Como

\implies x + 0 \cdot sin(\alpha) = 2 \implies x = 2 [/tex] . Logo ,

$x(1 + sin(\alpha) ) = 2 (1 + sin(\alpha) ) = 0 \implies 1 + sin(\alpha) = 0 \implies sin(\alpha) = - 1 \therefore \alpha = 3\pi/2 = 270^{\circ}$ .

Mas como a função do seno é periódica , podemos dar k ((...) ,-6,6,8,10000,(...))

voltas tanto no sentindo anti-horário quanto horário .Assim , $\alpha = \frac{ 3\pi}{2} + 2k\pi , k\in \mathbb{Z}$ .
Lembrando que , $\mathbb{Z} = \left \{(\hdots) ,-3 ,-2,-1,0,1,2,3,(\hdots)\right \}$