Dúvida - resolução de sistemas

por **Danilo** » Seg Dez 03, 2012 10:35

Encontre os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infnitas soluções.

$\begin{cases} x + 2y - 3z = 4 \\ 3x - y + 5z = 2 \\ 4x + y + (a^2 - 14)z = a + 2 \end{cases}$

Eu sei que, o sistema não tem solução quando o valor de a não satisfaz todas as equações. Tem uma solução quando a satisfaz todas as equações e eu não sei o que acontece com a quando o sistema tem infinitas soluções... e e não sei como aplicar as informações para resolver o problema. Eu sei como colocar o sistema na forma matricial escalonada reduzida mas não vejo como isso pode ajudar. Grato a quem puder dar uma luz.

por **young_jedi** » Seg Dez 03, 2012 16:36

um sistema tem solução unica se suas equações forem linearmente independentes, ou seja nenhum de suas equações é combinação das outras duas

se somarmos as duas primeiras equações teremos

x+2y-3z=4

portanto se

a^2-14=2

então a terceira equação sera uma combinação das outras duas portanto ou o sistema sera indefinido ou tera infinitas soluções, portanto para que ele tenha uma unica solução temos que

$a^2-14\neq2$

$a^2\neq16$

$a\neq4$ e $a\neq-4$

agora repare que se a=4 então a terceira equação fica

4x+y+2z=6

portanto ela é uma combinação das outras duas então o sistema tem infinitas soluções
mais se
a=-4

então a terceira equação fica

4x+y+2z=-2