Exercício do ITA-SP

por **Victor985** » Dom Nov 03, 2013 18:16

Considere a equação

$x \begin{pmatrix} 4 \\ -16 \\ 4 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 5 \\1 \\2 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}$
onde x, y e z são números reais. É verdade que:

a) a equação admite uma solução
b) em qualquer solução, x^2 = z^2

c) em qualquer solução, 16x^2 = 9z^2

d) em qualquer solução, 25y^2 = 16z^2

e) em qualquer solução, 9y^2 = 16z^2

Eu já tentei resolvê-lo várias vezes e não consegui.

por **e8group** » Seg Nov 04, 2013 19:22

Basta obter a solução geral do sistema linear homogêneo e comparar o resultado com as alternativas .

Inicialmente , temos o sistema escrito sob a forma :

xA+ yB + zC = (0,0,0)^t

. (A,B,C são as mesmas matrizes colunas dadas )

Esta expressão é equivalente a

M (x,y,z)^t = (0,0,0)^t

, onde

é uma matriz $3 \times 3$ em que suas colunas 1,2,3 são respectivamente as matrizes colunas A,B,C

.

Graças ao wolfram alpha , já verificamos que det(M) = 0

, veja

http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... C3%7D%7D++ .

Isto significa que a matriz

não é invertível o que implica que o sistema é incompatível (não há solução ) ou compatível indeterminado (infinitas soluções ) , mas como todo sistema linear homogêneo possui pelo menos a solução trivial que é o vetor nulo (x,y,z) = (0,0,0)

,então por

ser singular , concluímos que o sistema em questão é compatível e indeterminado (possui infinitas soluções ) . Aqui já eliminamos o item (a) .

Segundo wolfram alpha ,solução geral do sistema é

y = 16x

e

. Mas faça as contas .

por **Victor985** » Ter Nov 05, 2013 18:24

Obrigado pela ajuda.

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