Metodo de Gauss Jordan em Matriz 4x4 (Dificil)

por **Rhyu** » Sex Abr 06, 2012 17:26

Bom estou com dificuldades em achar a matriz inversa em matrizes 4x4 não sei por onde eu começo a zerar as colunas como nesse exercicio

I1 1 1 1I Linha 1 (1,1,1,1)
I1 2 -1 2I Linha 2 (1,2,-1,2)
I1-1 2 1I Linha 3 (1,-1,2,1)
I1 3 3 2I Linha 4 (1,3,3,2)

Como eu acho a inversa dessa aplicando o método de Gauss Jordan, gostaria de saber também qual a ordem eu devo seguir para zerar os termos.

por **LuizAquino** » Sex Abr 06, 2012 21:31

Rhyu escreveu:Bom estou com dificuldades em achar a matriz inversa em matrizes 4x4 não sei por onde eu começo a zerar as colunas como nesse exercicio

I1 1 1 1I Linha 1 (1,1,1,1)
I1 2 -1 2I Linha 2 (1,2,-1,2)
I1-1 2 1I Linha 3 (1,-1,2,1)
I1 3 3 2I Linha 4 (1,3,3,2)

Como eu acho a inversa dessa aplicando o método de Gauss Jordan, gostaria de saber também qual a ordem eu devo seguir para zerar os termos.

Se você já sabe determinar a inversa de uma matriz 3 por 3 usando o método de Gauss Jordan, então basta aplicar a mesma ideia para uma matriz 4 por 4.

Siga basicamente os seguintes passos:
1) transformar em 0 todos os elementos abaixo de $a_{11}$ ;
2) transformar em 0 todos os elementos abaixo de $a_{22}$ ;
3) transformar em 0 todos os elementos abaixo de $a_{33}$ ;
4) transformar em 0 todos os elementos acima de $a_{44}$ ;
5) transformar em 0 todos os elementos acima de $a_{33}$ ;
6) transformar em 0 todos os elementos acima de $a_{22}$ ;
7) transformar em 1 todos os elementos na diagonal principal.

Veja o início do processo.

Passo 1)
$L_2 \leftarrow L_2 - L_1$
$L_3 \leftarrow L_3 - L_1$
$L_4 \leftarrow L_4 - L_1$

$\begin{array}{|rrrr|rrrr|} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \sim \begin{array}{|rrrr|rrrr|} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}$

Passo 2)
$L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2$
$L_4 \leftarrow L_4 - 2L_2$

$\begin{array}{|rrrr|rrrr|} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \sim \begin{array}{|rrrr|rrrr|} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & -1 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}$

Passo 3)
$L_4 \leftarrow L_4 + 2L_3$

$\begin{array}{|rrrr|rrrr|} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & -1 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \sim \begin{array}{|rrrr|rrrr|} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -5 & 2 & 2 & 1 \end{array}$

Agora tente terminar o exercício.