Guilherme Carvalho escreveu:1- Mostre que
e
Basta aplicar as definições para essas operações.
Lembre-se que dada uma matriz X, dizemos que
é o seu termo na posição da linha i e coluna j.
Temos então as seguintes definições.
1) Seja S = X + Y. Temos que
. (Aqui X e Y devem ser matrizes com mesma ordem).
2) Seja
. Temos que
.
3) Seja P = XY. Temos que:
. (Aqui o número de colunas de X deve ser igual ao número de linhas de Y. Estamos supondo que esse número é n).
Por exemplo, vejamos a prova para a primeira identidade.
Seja S = A + B. Temos que
.
Seja
. Temos que
.
Por outro lado, sejam
e
. Se
, temos que
.
Lembrando que
e
, temos que
.
Conclusão: os termos da matriz
são os mesmos da matriz
. Isto é, temos que
.
Agora tente provar a segunda identidade.
Guilherme Carvalho escreveu:2- Uma matriz B é dita simétrica quando
. Mostre que A é B são simétricas e que A+kB é simétrica para todo k pertencente ao reais. Será AB simétrica?
Eu presumo que o texto original seja algo como:
2- Uma matriz B é dita simétrica quando
. Mostre que se A e B são simétricas, então A+kB é simétrica para todo k pertencente ao reais. Será AB simétrica?
Aqui basta aplicar os resultados já provados no exercício 1). Mas tem um detalhe: você vai precisar provar que
, com
k um número real qualquer. Além disso, lembre-se de mais outro detalhe: a multiplicação de matrizes não é comutativa. Isto é,
nem sempre é verdade que AB = BA.