DUVIDA PROPRIEDADES MATRICIAIS

[Guilherme Carvalho]

1- Mostre que e

2- Uma matriz B é dita simétrica quando . Mostre que A é B são simétricas e que A+kB é simétrica para todo k pertencente ao reais. Será AB simétrica?

[LuizAquino]

1- Mostre que e

Basta aplicar as definições para essas operações.

Lembre-se que dada uma matriz X, dizemos que é o seu termo na posição da linha i e coluna j.

Temos então as seguintes definições.

1) Seja S = X + Y. Temos que . (Aqui X e Y devem ser matrizes com mesma ordem).

2) Seja . Temos que .

3) Seja P = XY. Temos que: . (Aqui o número de colunas de X deve ser igual ao número de linhas de Y. Estamos supondo que esse número é n).

Por exemplo, vejamos a prova para a primeira identidade.

Seja S = A + B. Temos que .

Seja . Temos que .

Por outro lado, sejam e . Se , temos que .

Lembrando que e , temos que .

Conclusão: os termos da matriz são os mesmos da matriz . Isto é, temos que .

Agora tente provar a segunda identidade.

2- Uma matriz B é dita simétrica quando . Mostre que A é B são simétricas e que A+kB é simétrica para todo k pertencente ao reais. Será AB simétrica?

Eu presumo que o texto original seja algo como:

2- Uma matriz B é dita simétrica quando . Mostre que se A e B são simétricas, então A+kB é simétrica para todo k pertencente ao reais. Será AB simétrica?

Aqui basta aplicar os resultados já provados no exercício 1). Mas tem um detalhe: você vai precisar provar que , com k um número real qualquer. Além disso, lembre-se de mais outro detalhe: a multiplicação de matrizes não é comutativa. Isto é, nem sempre é verdade que AB = BA.