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[Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

[Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

Mensagempor JacquesPhilippe » Seg Ago 08, 2011 19:19

Boa noite,

Eu estou a tentar estudar álgebra linear (sozinho, diga-se), mas fiquei preso numa demonstração (sorry não sou um einstein).

Sendo B invertível, (A e B são consideradas quadradas)

AB^-1=B^-1A só se, e somente só se, AB=BA

O interesse é demonstar esta necessidade, mas não consigo demonstrar =/
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Re: [Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

Mensagempor LuizAquino » Seg Ago 08, 2011 20:57

Eu vou mostrar a ida e você tenta a volta.

Temos AB^{-1} = B^{-1}A e queremos provar que AB = BA.

Comece multiplicando (a esquerda) ambos os membros de AB^{-1} = B^{-1}A por B:

BAB^{-1} = BB^{-1}A

BAB^{-1} = A

Agora, temos que:

AB = \left(BAB^{-1}\right)B = BA\left(B^{-1}B\right) = BA
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Re: [Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

Mensagempor JacquesPhilippe » Qua Ago 10, 2011 20:29

Desculpa a demora, estive uns dias sem acesso à internet.

Muito obrigado pela ajuda.

Fazendo a volta, ficará:


Certo?
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Re: [Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

Mensagempor LuizAquino » Qui Ago 11, 2011 19:43

JacquesPhilippe escreveu:Fazendo a volta, ficará:
{B}{A}={A}{B}
Multiplicando, a esquerda, por {B}^{-1}:
{B}^{-1}{B}{A}={B}^{-1}{A}{B}
{A}={B}^{-1}{A}{B}

O que dá {A}{B}^{-1}={B}^{-1}{A}{B}{B}^{-1}={B}^{-1}{A}
Certo?


Está correto.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.