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[Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

[Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

Mensagempor JacquesPhilippe » Seg Ago 08, 2011 19:19

Boa noite,

Eu estou a tentar estudar álgebra linear (sozinho, diga-se), mas fiquei preso numa demonstração (sorry não sou um einstein).

Sendo B invertível, (A e B são consideradas quadradas)

AB^-1=B^-1A só se, e somente só se, AB=BA

O interesse é demonstar esta necessidade, mas não consigo demonstrar =/
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Re: [Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

Mensagempor LuizAquino » Seg Ago 08, 2011 20:57

Eu vou mostrar a ida e você tenta a volta.

Temos AB^{-1} = B^{-1}A e queremos provar que AB = BA.

Comece multiplicando (a esquerda) ambos os membros de AB^{-1} = B^{-1}A por B:

BAB^{-1} = BB^{-1}A

BAB^{-1} = A

Agora, temos que:

AB = \left(BAB^{-1}\right)B = BA\left(B^{-1}B\right) = BA
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Re: [Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

Mensagempor JacquesPhilippe » Qua Ago 10, 2011 20:29

Desculpa a demora, estive uns dias sem acesso à internet.

Muito obrigado pela ajuda.

Fazendo a volta, ficará:

{B}{A}={A}{B}

Multiplicando, a esquerda, por {B}^{-1}:


{B}^{-1}{B}{A}={B}^{-1}{A}{B}

{A}={B}^{-1}{A}{B}

O que dá {A}{B}^{-1}={B}^{-1}{A}{B}{B}^{-1}={B}^{-1}{A}
Certo?
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Re: [Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

Mensagempor LuizAquino » Qui Ago 11, 2011 19:43

JacquesPhilippe escreveu:Fazendo a volta, ficará:
{B}{A}={A}{B}
Multiplicando, a esquerda, por {B}^{-1}:
{B}^{-1}{B}{A}={B}^{-1}{A}{B}
{A}={B}^{-1}{A}{B}

O que dá {A}{B}^{-1}={B}^{-1}{A}{B}{B}^{-1}={B}^{-1}{A}
Certo?


Está correto.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}