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Determinantes

Determinantes

Mensagempor Cleyson007 » Dom Jul 20, 2008 11:55

Olá, bom dia!!!

Estou com uma questão de determinantes para resolver, e gostaria de saber se está correto o procedimento por mim adotado para a resolução da mesma. Desde já agradeço a atenção de todos.

A questão é essa----> Dada A=
\begin{vmatrix}
   -3 & 0 & {a}^{2}-1 & 0\\ 
    0 & 2 &    0      & 0 \\
    5 & 3 & -1 & 2\\
    a+2 & -1 & 0 & 0\\ 
\end{vmatrix}.

(a) Determine todos os valores de a\in R (conjunto dos números reais), para que detA = 0.
(b) Escolha um destes valores de a e, para este valor escolhido, dê exemplos de matrizes colunas {B}_{1} e {B}_{2} (4x1) tais queAX={B}_{1} tenha solução e AX={B}_{2} não tenha.

A letra (a) resolvi da seguinte maneira ---> Optei por calcular o determinante de {a}_{22} (por ser a linha que contém o maior número de zeros).

Resolvendo o determinante pelo cofator do elemento {a}_{22}, encontrei a seguinte equação: {2a}^{3}+{4a}^{2}-2a-4

Resolvendo a equação, encontrei a=+1, a=-1 e a=-2.

Quanto a (b) não consegui entender o enunciado, gostaria que me desse alguma dica a fim de que compreenda o mesmo!!!

:?: :?: :?: A resolução da pergunta (a) está correta :?: :?: :?:

Forte abraço!!!
Até mais. :D
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Cleyson007
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Re: Determinantes

Mensagempor fabiosousa » Dom Jul 20, 2008 18:58

Olá Cleyson, boa tarde!

Sugiro alterações em alguns detalhes de seu tópico.

Cleyson007 escreveu:A questão é essa----> Dada A=
\begin{vmatrix}
-3 & 0 & {a}^{2}-1 & 0\\ 
0 & 2 & 0 & 0 \\
5 & 3 & -1 & 2\\
a+2 & -1 & 0 & 0\\ 
\end{vmatrix}.

(a) Determine todos os valores de a\in R (conjunto dos números reais), para que detA = 0.
(b) Escolha um destes valores de a e, para este valor escolhido, dê exemplos de matrizes colunas {B}_{1} e {B}_{2} (4x1) tais queAX={B}_{1} tenha solução e AX={B}_{2} não tenha.


Pelos itens do enunciado, entendemos que A é uma matriz. Entretanto, você escreveu A como já sendo um determinante.
No LaTeX, substitua "vmatrix" por "bmatrix", vem de brackets (colchetes - []).


Cleyson007 escreveu:A letra (a) resolvi da seguinte maneira ---> Optei por calcular o determinante de {a}_{22} (por ser a linha que contém o maior número de zeros).


Cleyson, a_{22} é um elemento da matriz. Você escreveu algo diferente do pretendido.
O determinante de a_{22} (entendemos como o determinante de uma matriz de ordem 1 cujo a_{22} é o único elemento) seria o próprio a_{22}.


Cleyson007 escreveu:Resolvendo o determinante pelo cofator do elemento {a}_{22}, encontrei a seguinte equação: {2a}^{3}+{4a}^{2}-2a-4


Cuidado, não há equação aí, não há o símbolo de igualdade.
De qualquer forma, também resolvi o problema e constatei que:

D_{22} = 2a^3 + 4a^2-2a-4

Mas atenção, pois:

\left| A \right| = a_{22} \cdot (-1)^{2+2}\cdot D_{22}

\left| A \right| = 2 \cdot D_{22}

\left| A \right| = 2 \cdot (2a^3 + 4a^2-2a-4)

\left| A \right| = 4a^3 + 8a^2-4a-8

Mas como queremos analisar a condição \left| A \right| = 0, o fator 2 não influenciará nas raízes desta cúbica:

4a^3 + 8a^2-4a-8 = 0

Pois, dividindo ambos os membros por 2, igualmente teremos:

2a^3 + 4a^2-2a-4 = 0

Ou ainda:

a^3 + 2a^2-a-2 = 0

Cleyson007 escreveu:Resolvendo a equação, encontrei a=+1, a=-1 e a=-2.


Suas raízes estão corretas, mas seria interessante você também comentar como conseguiu obtê-las!



Sobre o item (b), X é uma matriz.
E pela definição de produto, se B_1 e B_2 são matrizes 4x1, X também deverá ser 4x1. Ou seja, é da forma:

X = 
\begin{bmatrix}
   a \\ 
   b \\ 
   c \\ 
   d
\end{bmatrix}

Em outras palavras, o item pede para que você represente estes produtos como sistemas lineares.

Bons estudos!
Fábio Sousa
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59