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Matriz & Determinante

Matriz & Determinante

Mensagempor Colton » Qua Out 13, 2010 12:56

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Olá pessoal

Estou com problemas para resolver duas questões de matrizes:

a) Prove que o determinante da matriz

a^2 (a+2)^2 (a+4)^2
(a+2)^2 (a+4)^2 (a+6)^2
(a+4)^2 (a+6)^2 (a+8)^2

é igual a -2^9.

este eu resolvi, porém desenvolvendo os produtos e potências, o que foi muito trabalhoso...será que há uma maneira mais simples utilizando as propiedades?

b) Mostre que o determinante da matriz:

cos(x+a) sen(x+a) 1
cos(x+b) sen(x+b) 1
cos(x+c) sen(x+c) 1

é independente de x.

este eu não consegui resolver. Na tentativa de desenvolver o determinante, acabo chegando a uma “salada” de senos e cossenos onde não encontro uma saída...seja diretamente, seja tentando o teorema de Cauchy (para cair numa equação)!

Espero que haja alguém aí para me dar uma orientação.

Colton

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Colton
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Re: Matriz & Determinante

Mensagempor Colton » Qua Out 20, 2010 10:02

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Olá todos!

Não tendo recebido nenhum comentário à minha questão e tendo resolvido no ínterim a questão colocada e à falta de uma melhor orientação EU MESMO respondo:

301. Mostre que o determinante da matriz
{[cos(x+a), sen(x+a), 1], [cos(x+b), sen(x+b), 1], [cos(x+c), sen(x+c), 1]}
é independente de x.

(i) Aplicando primeiro a troca de filas paralelas detM’ = – detM
– {[1, cos(x+a), sen(x+a)], [1, cos(x+b), sen(x+b)], [1, cos(x+c), sen(x+c)]}
e em seguida a regra de Chió, o determinante se calcula com a “inocente” diferença de produtos:
– { [(cos(x+b) – cos(x+a)) . (sen(x+c) – sen(x+a))] –
– [(cos(x+c) – cos(x+a)) . (sen(x+b) – sen(x+a)]}

(ii) Desenvolvendo esta diferença de produtos obtemos 24 produtos individuais,
sendo 12 do tipo: +senx.cosx.cosa.cosc
–senx.cosx.cosa.cosb
–senx.cosx.sena.cosc, etc
que convenientemente agrupados dois a dois se ANULAM
e 12 produtos do tipo: sen^2x.sena.cosb
+cos^2x.sena.cosb
– sen^2x.sena.cosc, etc
que convenientemente agrupados dois a dois NÃO se anulam, mas em
compensação ELIMINAM os fatores em x, resultando na soma/subtração de 6
fatores.

(iii) Estes 6 fatores, por sua vez se reduzem como segue:
senc.cosa–sena.cosc => sen(c–a) => –sen(a–c)
senb.cosc–senc.cosb => sen(b–c)
sena.cosb–senb.cosa => sen(a–b), portanto:

(iv) Det{[cos(x+a), sen(x+a), 1], [cos(x+b), sen(x+b), 1], [cos(x+c), sen(x+c), 1]}=
= –sen(a–c) + sen(a–b) + sen(b–c) => idependente de x c.q.d.

ONDE CONTINUO COM A DÚVIDA SE NÃO HAVERIA UMA MANEIRA MAIS SINTÉTICA DE RESOVER A QUESTÃO, AFINAL É UMA ENORMIDADE DE SOMAS E MULTIPLICAÇÕES QUE TIVE QUE FAZER COM CORRESPONDENTE POTENCIAL DE ÊRRO.

Saudações


Colton

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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?