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Matriz & Determinante

Matriz & Determinante

Mensagempor Colton » Qua Out 13, 2010 12:56

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Olá pessoal

Estou com problemas para resolver duas questões de matrizes:

a) Prove que o determinante da matriz

a^2 (a+2)^2 (a+4)^2
(a+2)^2 (a+4)^2 (a+6)^2
(a+4)^2 (a+6)^2 (a+8)^2

é igual a -2^9.

este eu resolvi, porém desenvolvendo os produtos e potências, o que foi muito trabalhoso...será que há uma maneira mais simples utilizando as propiedades?

b) Mostre que o determinante da matriz:

cos(x+a) sen(x+a) 1
cos(x+b) sen(x+b) 1
cos(x+c) sen(x+c) 1

é independente de x.

este eu não consegui resolver. Na tentativa de desenvolver o determinante, acabo chegando a uma “salada” de senos e cossenos onde não encontro uma saída...seja diretamente, seja tentando o teorema de Cauchy (para cair numa equação)!

Espero que haja alguém aí para me dar uma orientação.

Colton

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Colton
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Re: Matriz & Determinante

Mensagempor Colton » Qua Out 20, 2010 10:02

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Olá todos!

Não tendo recebido nenhum comentário à minha questão e tendo resolvido no ínterim a questão colocada e à falta de uma melhor orientação EU MESMO respondo:

301. Mostre que o determinante da matriz
{[cos(x+a), sen(x+a), 1], [cos(x+b), sen(x+b), 1], [cos(x+c), sen(x+c), 1]}
é independente de x.

(i) Aplicando primeiro a troca de filas paralelas detM’ = – detM
– {[1, cos(x+a), sen(x+a)], [1, cos(x+b), sen(x+b)], [1, cos(x+c), sen(x+c)]}
e em seguida a regra de Chió, o determinante se calcula com a “inocente” diferença de produtos:
– { [(cos(x+b) – cos(x+a)) . (sen(x+c) – sen(x+a))] –
– [(cos(x+c) – cos(x+a)) . (sen(x+b) – sen(x+a)]}

(ii) Desenvolvendo esta diferença de produtos obtemos 24 produtos individuais,
sendo 12 do tipo: +senx.cosx.cosa.cosc
–senx.cosx.cosa.cosb
–senx.cosx.sena.cosc, etc
que convenientemente agrupados dois a dois se ANULAM
e 12 produtos do tipo: sen^2x.sena.cosb
+cos^2x.sena.cosb
– sen^2x.sena.cosc, etc
que convenientemente agrupados dois a dois NÃO se anulam, mas em
compensação ELIMINAM os fatores em x, resultando na soma/subtração de 6
fatores.

(iii) Estes 6 fatores, por sua vez se reduzem como segue:
senc.cosa–sena.cosc => sen(c–a) => –sen(a–c)
senb.cosc–senc.cosb => sen(b–c)
sena.cosb–senb.cosa => sen(a–b), portanto:

(iv) Det{[cos(x+a), sen(x+a), 1], [cos(x+b), sen(x+b), 1], [cos(x+c), sen(x+c), 1]}=
= –sen(a–c) + sen(a–b) + sen(b–c) => idependente de x c.q.d.

ONDE CONTINUO COM A DÚVIDA SE NÃO HAVERIA UMA MANEIRA MAIS SINTÉTICA DE RESOVER A QUESTÃO, AFINAL É UMA ENORMIDADE DE SOMAS E MULTIPLICAÇÕES QUE TIVE QUE FAZER COM CORRESPONDENTE POTENCIAL DE ÊRRO.

Saudações


Colton

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Colton
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59


cron