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[Matrizes] Verificação de afirmação e prova

[Matrizes] Verificação de afirmação e prova

Mensagempor Andre Arruda » Ter Mar 25, 2014 16:55

Olá! Estava olhando provas anteriores de minha universidade e vi uma questão sobre matrizes que pedia para falar se algumas afirmativas feitas eram verdadeiras ou falsas com justificativa. Nessa afirmação:

"Se \textit{A} é uma matriz \textit{n} x \textit{n} tal que {\textit{A}}^{2}={I}_{n}, então A={I}_{n} ou A={-I}_{n}"

Bom, como uma matriz multiplicada pela sua inversa sempre dá a matriz identidade, imaginei que a afirmação seja falsa, uma vez que para que {\textit{A}}^{2}={I}_{n}, A={A}^{-1}.

Não sei, entretanto, como colocar isso na resposta caso apareça em uma prova (ou qualquer questão similar) e se teria que exemplificar com um caso numérico para prova. É meu primeiro semestre na universidade, então não tenho muita noção de como funciona isso. Se alguém puder ajudar com essa ideia, agradeço muito!
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Re: [Matrizes] Verificação de afirmação e prova

Mensagempor e8group » Qui Mar 27, 2014 12:32

Bom dia . A implicação não necessariamente é verdadeira . Se fosse , ela valeria para todo n natural .Negar a afirmação entre aspas é o suficiente mostrar um contra exemplo . Vamos escolher n = 2 para simplificar e mostra que existe outra matriz A inversível diferente de \pm I_2 tal que A^2 = I_2 .Comece escrevendo

A = \begin{pmatrix}  a & b \\ c &  d \end{pmatrix} (vamos determinar a,b,c,d ) . Segue-se

A^2 = A \cdot A =  \begin{pmatrix}  a & b \\ c &  d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}  a & b \\ c &  d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  a ^2 + bc   & (a+d)b  \\ c (a+d) &  cb +d^2  \end{pmatrix} .

Desde que A^2 = I_2 , então a^2 +bc = cb+d^2 = 1 e c(a+d) = b(a+d) = 0 .

Dá segunda relação ,temos a = -d e b,c quaisquer .

Mas , a^2 +bc = cb+d^2 = 1 \implies    d^2 =  1-cb . Como d^2 é sempre positivo , o lado direito também o é , escolhendo-se então c,b reais tais que cb <1 a solução geral do sistema será

a = - d  ,  d = \pm \sqrt{1-cb} com cb < 1 .

Agora podemos encontrar quantas matrizes quisermos , basta tomar valores para c,b de modo que cb < 1 . Exemplo , escolha c = 2 e b = 1/4 .Temos 2 \cdot 1/4 = 1/2 < 1 e

d = \pm \sqrt{1 - 1/2}  = \pm \sqrt{2}/2  , a = - d

Disso temos uma matriz A =  \begin{pmatrix}  \sqrt{2}/2  & 1/4  \\ 2 &  - \sqrt{2}/2 \end{pmatrix} tal que A^2 = I_2 .
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Re: [Matrizes] Verificação de afirmação e prova

Mensagempor Andre Arruda » Qui Mar 27, 2014 17:28

Certo, muito obrigado, Santhiago! Me ajudou bastante, acho que peguei a ideia de como justificar, vou treinar mais isso. Mais uma vez, muito obrigado.
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59