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[Matrizes] Verificação de afirmação e prova

[Matrizes] Verificação de afirmação e prova

Mensagempor Andre Arruda » Ter Mar 25, 2014 16:55

Olá! Estava olhando provas anteriores de minha universidade e vi uma questão sobre matrizes que pedia para falar se algumas afirmativas feitas eram verdadeiras ou falsas com justificativa. Nessa afirmação:

"Se \textit{A} é uma matriz \textit{n} x \textit{n} tal que {\textit{A}}^{2}={I}_{n}, então A={I}_{n} ou A={-I}_{n}"

Bom, como uma matriz multiplicada pela sua inversa sempre dá a matriz identidade, imaginei que a afirmação seja falsa, uma vez que para que {\textit{A}}^{2}={I}_{n}, A={A}^{-1}.

Não sei, entretanto, como colocar isso na resposta caso apareça em uma prova (ou qualquer questão similar) e se teria que exemplificar com um caso numérico para prova. É meu primeiro semestre na universidade, então não tenho muita noção de como funciona isso. Se alguém puder ajudar com essa ideia, agradeço muito!
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Re: [Matrizes] Verificação de afirmação e prova

Mensagempor e8group » Qui Mar 27, 2014 12:32

Bom dia . A implicação não necessariamente é verdadeira . Se fosse , ela valeria para todo n natural .Negar a afirmação entre aspas é o suficiente mostrar um contra exemplo . Vamos escolher n = 2 para simplificar e mostra que existe outra matriz A inversível diferente de \pm I_2 tal que A^2 = I_2 .Comece escrevendo

A = \begin{pmatrix}  a & b \\ c &  d \end{pmatrix} (vamos determinar a,b,c,d ) . Segue-se

A^2 = A \cdot A =  \begin{pmatrix}  a & b \\ c &  d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}  a & b \\ c &  d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  a ^2 + bc   & (a+d)b  \\ c (a+d) &  cb +d^2  \end{pmatrix} .

Desde que A^2 = I_2 , então a^2 +bc = cb+d^2 = 1 e c(a+d) = b(a+d) = 0 .

Dá segunda relação ,temos a = -d e b,c quaisquer .

Mas , a^2 +bc = cb+d^2 = 1 \implies    d^2 =  1-cb . Como d^2 é sempre positivo , o lado direito também o é , escolhendo-se então c,b reais tais que cb <1 a solução geral do sistema será

a = - d  ,  d = \pm \sqrt{1-cb} com cb < 1 .

Agora podemos encontrar quantas matrizes quisermos , basta tomar valores para c,b de modo que cb < 1 . Exemplo , escolha c = 2 e b = 1/4 .Temos 2 \cdot 1/4 = 1/2 < 1 e

d = \pm \sqrt{1 - 1/2}  = \pm \sqrt{2}/2  , a = - d

Disso temos uma matriz A =  \begin{pmatrix}  \sqrt{2}/2  & 1/4  \\ 2 &  - \sqrt{2}/2 \end{pmatrix} tal que A^2 = I_2 .
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Re: [Matrizes] Verificação de afirmação e prova

Mensagempor Andre Arruda » Qui Mar 27, 2014 17:28

Certo, muito obrigado, Santhiago! Me ajudou bastante, acho que peguei a ideia de como justificar, vou treinar mais isso. Mais uma vez, muito obrigado.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}