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[Matrizes] Verificação de afirmação e prova

[Matrizes] Verificação de afirmação e prova

Mensagempor Andre Arruda » Ter Mar 25, 2014 16:55

Olá! Estava olhando provas anteriores de minha universidade e vi uma questão sobre matrizes que pedia para falar se algumas afirmativas feitas eram verdadeiras ou falsas com justificativa. Nessa afirmação:

"Se \textit{A} é uma matriz \textit{n} x \textit{n} tal que {\textit{A}}^{2}={I}_{n}, então A={I}_{n} ou A={-I}_{n}"

Bom, como uma matriz multiplicada pela sua inversa sempre dá a matriz identidade, imaginei que a afirmação seja falsa, uma vez que para que {\textit{A}}^{2}={I}_{n}, A={A}^{-1}.

Não sei, entretanto, como colocar isso na resposta caso apareça em uma prova (ou qualquer questão similar) e se teria que exemplificar com um caso numérico para prova. É meu primeiro semestre na universidade, então não tenho muita noção de como funciona isso. Se alguém puder ajudar com essa ideia, agradeço muito!
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Re: [Matrizes] Verificação de afirmação e prova

Mensagempor e8group » Qui Mar 27, 2014 12:32

Bom dia . A implicação não necessariamente é verdadeira . Se fosse , ela valeria para todo n natural .Negar a afirmação entre aspas é o suficiente mostrar um contra exemplo . Vamos escolher n = 2 para simplificar e mostra que existe outra matriz A inversível diferente de \pm I_2 tal que A^2 = I_2 .Comece escrevendo

A = \begin{pmatrix}  a & b \\ c &  d \end{pmatrix} (vamos determinar a,b,c,d ) . Segue-se

A^2 = A \cdot A =  \begin{pmatrix}  a & b \\ c &  d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}  a & b \\ c &  d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  a ^2 + bc   & (a+d)b  \\ c (a+d) &  cb +d^2  \end{pmatrix} .

Desde que A^2 = I_2 , então a^2 +bc = cb+d^2 = 1 e c(a+d) = b(a+d) = 0 .

Dá segunda relação ,temos a = -d e b,c quaisquer .

Mas , a^2 +bc = cb+d^2 = 1 \implies    d^2 =  1-cb . Como d^2 é sempre positivo , o lado direito também o é , escolhendo-se então c,b reais tais que cb <1 a solução geral do sistema será

a = - d  ,  d = \pm \sqrt{1-cb} com cb < 1 .

Agora podemos encontrar quantas matrizes quisermos , basta tomar valores para c,b de modo que cb < 1 . Exemplo , escolha c = 2 e b = 1/4 .Temos 2 \cdot 1/4 = 1/2 < 1 e

d = \pm \sqrt{1 - 1/2}  = \pm \sqrt{2}/2  , a = - d

Disso temos uma matriz A =  \begin{pmatrix}  \sqrt{2}/2  & 1/4  \\ 2 &  - \sqrt{2}/2 \end{pmatrix} tal que A^2 = I_2 .
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Re: [Matrizes] Verificação de afirmação e prova

Mensagempor Andre Arruda » Qui Mar 27, 2014 17:28

Certo, muito obrigado, Santhiago! Me ajudou bastante, acho que peguei a ideia de como justificar, vou treinar mais isso. Mais uma vez, muito obrigado.
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.