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[Matrizes] Matriz Identidade

[Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor mota_16 » Sex Dez 06, 2013 11:12

Pessoal, não consigo resolver essa questão.

As matrizes A, I e J são quadradas de ordem 2 e I é a matriz identidade. Se a matriz A = \begin{pmatrix}
   1 & -2  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix} satisfaz as relações A-\lambda I=\beta J e {J}^{2}=-I, com \lambda e \beta números reais, então a matriz J é igual a:

Resposta:
J=+ ou - \frac{1}{\sqrt[]{3}}
\begin{pmatrix}
   -1 & -2  \\ 
   2 & 1 
\end{pmatrix}
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor e8group » Sáb Dez 07, 2013 11:45

Uma forma é estabelecer uma relação entre os escaleres \beta , \lambda com os termos da matriz inversa de A .Nota a matriz A tem determinante não nulo e assim ela possui inversa e esta matriz denotada por A^{-1} é única .

Se A - \lambda I = \beta J então A = \beta J + \lambda I (1) .Multiplicando-se (1) por \beta J - \lambda I e usando \beta J - \lambda I = A - 2\lambda I no lado esquerdo da igualdade e J^2 = -I no lado direito ,obtemos

A(A - 2\lambda I) = \beta J + \lambda I = -(\beta^2 + \lambda^2)I (2) . Logo ,

A \cdot \left( \frac{-1}{\beta^2 + \lambda^2} A + \frac{2\lambda}{\beta^2 + \lambda^2} I\right) =I e assim concluímos que A^{-1} = \frac{-1}{\beta^2 + \lambda^2} A+ \frac{2\lambda}{\beta^2 + \lambda^2} I  =  \frac{1}{\beta^2+ \lambda^2}\left(- A + 2 \lambda I\right) (3) .

Agora tente concluir a parti daí .
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor mota_16 » Sáb Dez 07, 2013 19:04

Olá Santhiago,

Eu consegui entender as passagens, porém ao obter a matriz inversa relacionadas com os escalares eu não tenho mais quem quero descobrir que é exatamente a matriz J. Por isso, não consegui enxergar como a matriz inversa vai me ajudar na resolução do problema. Pensei em fazer A.{A}^{-1}=I para descobrir os escalares. Como A = \begin{pmatrix}
   1 & -2  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix}, {A}^{-1}=\frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}\left(-A + 2\lambda I \right) e I=
\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 1 
\end{pmatrix}, teríamos:

\begin{pmatrix}
   1 & -2  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix}
\left[ \frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}\left(-A + 2\lambda I \right) \right]=
\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 1 
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
   1 & -2  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix}
\left[ \frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}\left(-
\begin{pmatrix}
   1 & -2  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix}
 \right) + 2\lambda I \right) \right]=
\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 1 
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
   1 & -2  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix}\left[\frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}\left(
\begin{pmatrix}
   -1 & 2  \\ 
   -2 & -3 
\end{pmatrix}
 \right) +
\begin{pmatrix}
   2\lambda & 0  \\ 
   0 & 2\lambda 
\end{pmatrix}
\right]=
\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 1 
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
   1 & -2  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix}\left[\frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}
\begin{pmatrix}
   2\lambda-1 & 2  \\ 
   -2 & 2\lambda+3 
\end{pmatrix}
\right]=
\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 1 
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
   1 & -2  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
   \frac{2\lambda-1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}} & \frac{2}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}  \\ 
   \frac{-2}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}} & \frac{2\lambda + 3}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}} 
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 1 
\end{pmatrix}

Resolvendo o produto:

\frac{2\lambda - 1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}+ \frac{4}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}=1\Rightarrow {\beta}^{2}+{\lambda}^{2}-2\lambda=3

\frac{2}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}+\frac{-4\lambda - 6}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}=0 \Rightarrow -4\lambda=4 \Rightarrow \lambda=-1

Substituindo na equação anterior, obtém-se \beta=0

Acho que errei em algum lugar... É esse o raciocínio?
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor e8group » Sáb Dez 07, 2013 20:33

Parece que você obteve resultado errado devido erros de cálculos . Na verdade sugerir trabalhar com a matriz inversa, por que tem um resultado para matrizes 2\times 2 não singulares que nos fornece esta matriz através da aplicação de uma fórmula . (veja : http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_inv ... s_2.C3.972) .

Comentário sobre sua resolução :

Na primeira linha após "teríamos " , aquela expressão é equivalente a de baixo

A\left[  \frac{1}{\beta^2 + \lambda^2}(-A+ 2\lambda I) A\right]  = I que pode ser desenvolvida da seguinte forma :

\frac{1}{\beta^2 + \lambda^2} \left(A(-A + 2\lambda I)\right) = \frac{1}{\beta^2 + \lambda^2}(-A^2 + 2 \lambda AI) =  \frac{1}{\beta^2 + \lambda^2}(-A^2 + 2\lambda A) = I .

Ou ainda ,multiplicando ambos os lados da igualdade por \beta^2 + \lambda^2 vamos obter

-A^2 + 2\lambda A = (\beta^2 + \lambda^2)I . Como

-A^2 = -A \cdot A = \begin{pmatrix}3& 8 \\ -8 & -5 \end{pmatrix} ,

2\lambda A =  \begin{pmatrix}2\lambda & -4 \lambda\\ 4\lambda & 6\lambda \end{pmatrix} e

(\beta^2 + \lambda^2)I= \begin{pmatrix}\beta^2 + \lambda^2 & 0\\ 0 & \beta^2 + \lambda^2 \end{pmatrix} ,segue

\begin{pmatrix}3 +2\lambda  & 8 -4\lambda  \\ -8 +4\lambda  & -5 + 6\lambda \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}\beta^2 + \lambda^2 & 0\\ 0 & \beta^2 + \lambda^2 \end{pmatrix} .
Daí , para que esta matrizes sejam iguais teremos

\begin{cases} 3 +2\lambda = \beta^2 + \lambda^2  \\8 -4\lambda = 0 \\ -8 +4\lambda= 0 \\-5 + 6\lambda = \beta^2+\lambda^2  \end{cases} .

De acordo com segunda e terceira equação deste sistema temos \lambda=2 e assim o sistema se reduz a

\begin{cases}  3 + 4= \beta^2 + 4\\  -5 + 12 = \beta^2 +4 \end{cases} que nos dá \beta = \pm \sqrt{3} como solução .

Lembrando que J = \frac{1}{\beta}(A - \lambda I) ,substituindo os escalares pelos valores encontrados obterá a reposta .
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor mota_16 » Sáb Dez 07, 2013 21:00

santhiago muito obrigado pela ajuda! Entendi perfeitamente como fez! Vou rever meus cálculos e descobrir o erro.
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor e8group » Sáb Dez 07, 2013 21:32

Há outra forma . Suponha J = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} . Pelo que

J^2 = -I ,segue J(-J) = I . Portanto J é invertível e sua inversa é -J (*)

. Além disso,

J^2 = -I acarreta que \begin{pmatrix} a^2 +bc & ab +bd \\ ca +dc  & d^2+cb \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} e assim


a^2 +bc  = -1
ab +bd = 0
ca +dc = 0
d^2+cb =  - 1 ,

equivalentemente ,

a^2 -d^2 = (a-d)(a+d) = 0
b(a+d) = 0
c(a+d) = 0 .

Analisando as soluções p/ primeira equação concluímos que a-d = 0 ou a+d = 0 .Se ocorrer
a-d = 0 implicará b=c = 0 e d= \pm 1 .Já na segunda possibilidade , temos a = -d,para este caso devemos encontrar b,c reais que cumpre bc = -1 - d^2(**) e J = m A + pI (Apenas dividi por \beta e definir os novos escalares como m e p ) . Prosseguindo :

J = m A + pI = \begin{pmatrix}  m +p & -2m \\ 2m & 3m+p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  -d & b\\ c & d \end{pmatrix} . Logo ,

m +p = -d (1)
-2m =  b (2)
2m =  c (3)
3m+p = d (4) ,



[(1) +(4)] \implies  2m +p = 0 \implies p = -2m .


Então b = -2m , c = 2m , d = m . Utilizando estes resultados em (**) ,

bc = -1 - d^2  \iff  -4m^2 = -1 -m^2 \iff  1 = 3m^2 \iff m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} . E assim a,b,c,d estarão bem determinados .

Para aquele primeiro caso em que a= d = \pm 1 ,b,c = 0 ,J se exprimir por a I onde a é uma das possibilidades 1 ou - 1 e assim teremos
J^2 = (aI)^2 = a^2 I^2 = a^2 I = 1 \cdot I = I que contradiz o fato de J^2 = -I .

Editado .
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor mota_16 » Sex Dez 27, 2013 22:06

santhiago, tudo bem?

Estava estudando essa questão novamente e verifiquei que você postou uma nova resolução. E refazendo os passos eu não entendi o por quê do valor do d ser igual a um positivo ou um negativo em "Se ocorrer a-d = 0 implicará b=c = 0 e d= \pm 1 ". Pode esclarecer?

santhiago escreveu:Há outra forma . Suponha J = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} . Pelo que

J^2 = -I ,segue J(-J) = I . Portanto J é invertível e sua inversa é -J (*)

. Além disso,

J^2 = -I acarreta que \begin{pmatrix} a^2 +bc & ab +bd \\ ca +dc  & d^2+cb \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} e assim


a^2 +bc  = -1
ab +bd = 0
ca +dc = 0
d^2+cb =  - 1 ,

equivalentemente ,

a^2 -d^2 = (a-d)(a+d) = 0
b(a+d) = 0
c(a+d) = 0 .

Analisando as soluções p/ primeira equação concluímos que a-d = 0 ou a+d = 0 .Se ocorrer
a-d = 0 implicará b=c = 0 e d= \pm 1 .Já na segunda possibilidade , temos a = -d,para este caso devemos encontrar b,c reais que cumpre bc = -1 - d^2(**) e J = m A + pI (Apenas dividi por \beta e definir os novos escalares como m e p ) . Prosseguindo :

J = m A + pI = \begin{pmatrix}  m +p & -2m \\ 2m & 3m+p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  -d & b\\ c & d \end{pmatrix} . Logo ,

m +p = -d (1)
-2m =  b (2)
2m =  c (3)
3m+p = d (4) ,



[(1) +(4)] \implies  2m +p = 0 \implies p = -2m .


Então b = -2m , c = 2m , d = m . Utilizando estes resultados em (**) ,

bc = -1 - d^2  \iff  -4m^2 = -1 -m^2 \iff  1 = 3m^2 \iff m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} . E assim a,b,c,d estarão bem determinados .

Para aquele primeiro caso em que a= d = \pm 1 ,b,c = 0 ,J se exprimir por a I onde a é uma das possibilidades 1 ou - 1 e assim teremos
J^2 = (aI)^2 = a^2 I^2 = a^2 I = 1 \cdot I = I que contradiz o fato de J^2 = -I .

Editado .
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor e8group » Sex Dez 27, 2013 22:44

Boa noite . Vou rever a resposta [observei erroneamente a eq a^2 -bc = -1,nesta época que respondi este tópico vi a mesma eq. como a^2-bc = 1 que em consequência nos a=d = \pm 1 se a=b=0 , a seguir vou rever minha resposta ].

Consegue ver que se a-d = 0 então b=c = 0 ? Caso sim ,note que a matriz J se escreve como \begin{pmatrix}  a & b \\ c & d  \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}  a & 0 \\ 0 & a  \end{pmatrix} e deixando o número a em evidência ,temos que

J = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1  \end{pmatrix} ou de forma mais compacta J = a I .Por hipótese a matriz J é tal que J^2 =J \cdot J = - I .

Mas, se J =  a I teremos J^2 = a^2 I^2 = a^2 I que é um absurdo , pois para qualquer número real a\neq 0 o seu quadrado será positivo e assim vemos que não existe a real p/ o qual J^2 = - I .

Outra forma de notares que a não é real é pela equação que já foi mencionada entre[] a^2 -bc = -1 .Com b=c= 0 temos a^2 = - 1 .

Comente as dúvidas .
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor mota_16 » Sex Dez 27, 2013 23:07

Santhiago, perfeito nas explicações!

Entendi perfeitamente o que expôs! A única dúvida era mesmo no valor de d. Muito obrigado!
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor mota_16 » Sex Dez 27, 2013 23:45

Santhiago é possível enviar-lhe uma MP (mensagem particular) ? Tentei mas no meu cadastro não estou habilitado. Existe outra forma?
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Re: [Matrizes] Matriz Identidade

Mensagempor e8group » Sáb Dez 28, 2013 01:23

Boa noite .Possuo o mesmo problema que você (não estou habilitado a enviar MP) .Suponho que somente os moderadores usufruem deste recurso . De qualquer forma, se precisar entrar em contato ,segue-se abaixo meu e-mail

guimaraes_thiago@live.com

Att.,
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Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?