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[Problema envolvendo determinante]

[Problema envolvendo determinante]

Mensagempor DPassos » Ter Set 03, 2013 12:32

Estudei esse problema de determinante várias vezes pra ver se conseguia montar a matriz, porém não entendi os três tópicos que aparecem no enunciado, não entendi qual pode ser a região i e j, a questão de atribuição de valor 1 e 0, principalmente o zero, pois para mim todas as torres transmitem. E não entendi a lógica do último tópico quando diz que: uma torre não transmite sinal para ela mesma. Não posso nem falar muito das minhas tentativas de resolução, pois o máximo que entendi é que a matriz tem que ser quadrada - para encontrar determinante - Também gostaria de saber se o determinante encontrado tem que ser elevado ao quadrado?

O enunciado é o seguinte:

O esquema abaixo apresenta três torres repetidoras de telefonia celular que permitem a comunicação entre as regiões R1, R2 e R3. O sentido de cada seta indica que a torre de uma região transmite sinal para outra.



Seja A=(aij) a matriz que descreve as transmissões de sinais apresentadas no esquema, sendo que:

* aij=1 significa que há transmissão de sinal da torre repetidora da região i para torre repetidora da região j
* aij=0 significa que não há transmissão de sinal da torre repetidora da região i para a torre repetidora da região j
* Considere que uma torre repetidora não transmite sinal para ela mesma.

A partir dessas informações, o valor do determinante da matriz A^2 é:

Observação: caso a imagem da representação das torres na apareça no anexo que coloquei, fica aqui uma descrição da imagem: São três círculos (representação das torres), a disposição dos círculos forma um triângulo. Do círculo R1 sai um seta apontando para R2, do R1 uma apontando para o R3, do R3 uma apontando para R2, do R2 uma apontando para R1 e do R3 uma apontando para R1. a disposição dos círculos é esta:

R1 R2

R3
Anexos
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Torres.jpg (13.26 KiB) Exibido 5109 vezes
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Re: [Problema envolvendo determinante]

Mensagempor temujin » Ter Set 03, 2013 14:07

Olá.

Uma matriz A=(aij) é um arranjo onde vc tem i linhas e j colunas. Monte sua matriz de modo que vc tenha como linhas R1, R2 e R3 e como colunas tb R1, R2 e R3:

Imagem

O que o seu enunciado diz é que se a torre i transmite para a torre j, o valor de aij é 1. Se não transmite é 0. Ainda, nenhuma torre transmite para ela mesma, logo se i=j, então aij=0. Ou seja, na diagonal principal, Ri=Rj vc já sabe que terá 0 em cada entrada.

Agora, olhando para o seu desenho, vc vê que R3 transmite para R2, mas R2 não transmite para R3. Logo, vc terá que a23 = 0 e a32=1 ou que a23=1 e a32=0 (não importa qual, desde que aij=0 implique aji=1). Portanto, a sua matriz ficará:

Imagem

Basta agora calcular o determinante da matriz A. Como ele pede o det(A^2), lembre-se que pelo teorema de Binet det(AB)=det(A).det(B), portanto det(A^2)=det(A).det(A)
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Re: [Problema envolvendo determinante]

Mensagempor tatobonito » Dom Fev 28, 2016 22:44

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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D