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[determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

[determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor e8group » Dom Dez 23, 2012 11:19

4- Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ou falsa .Se verdadeira prove ;se falsa ,prove ou dê um contra-exemplo .

a) Seja A uma matriz n \times n . Se B = A A^tA^{-1} então det(A) = det(B) .

Este exercício é simples ,mas estou em conflito com o mesmo . Na matemática A^{-1} significa matriz inversa da matriz A . Mas ,devo considerar A^{-1} como a matriz inversa da A ? Ou devo considerar a hipótese de A^{-1} não existir ? Geralmente quando estamos buscando a inversa de uma matriz , por exemplo dada a matriz P = (p_{ij})_{n \times n} e a matriz W = (w_{ij})_{n \times n} .Se PW = WP = I_n ,temos que W = P^{-1} isto é ,W é a matriz inversa da P .

Afinal de contas , pelo enunciado única informação que sabemos é que A = (a_{ij})_{ n \times n} e logo após ele explícita B em função de A A^t A^{-1} . O que quero dizer é que, dada uma matriz A , (n \times n) isto não significa que A é invertível ,pois nem todas matriz quadradas são invertíveis .

Diante deste pensamento , eu concluir que esta informação é falsa . Pois ,det(B) =  det(A)det(A^t)det(A^{-1}) =  \frac{det(A) }{det(A)} det(A) .

Se A é invertível , então det(A) \neq 0 logo det(B) = det(A) . Mas isto contradiz ,meu pensamento .

Em resumo :

Estou em conflito em considerar A^{-1} como a inversa da matriz A ou não . Pois no enunciado ele não diz que A é invertível .

Qual a opinião de vc's ?

Grato !
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 23, 2012 18:23

Sua hipótese é que B = A \cdot A^t \cdot A^{-1}, isto automaticamente implica que A tem de ter inversa. Neste exercício não cabe questionar se a matriz original é invertível ou não: se ela for, vale a afirmação? A resposta é sim.

Pense com a seguinte analogia: seja f uma função dos reais nos reais. Se f for diferenciável, então f é contínua.
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor e8group » Dom Dez 23, 2012 18:53

Consegui compreender ,obrigado pela ajuda .

Agora vamos supor se nossa hipótese fosse A \cdot B  = A \cdot A^t então det(B) = Det(A) . Neste contexto meu pensamento acima justifica isto , certo ? Pois aqui não temos a certeza da existência da matriz inversa de A . Estar correto ?

Só para frisar , estou questionando se a matriz A invertível por que quando ela o é ,temos det(A) \neq 0 e quando ela não é invertível temos det(A) = 0 .Isto é definição .
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 23, 2012 19:24

Sim. Elas são equivalentes quando a matriz A for invertível, mas diferentes caso contrário.
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor e8group » Dom Dez 23, 2012 22:26

Ok , obrigado .
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?