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[determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

[determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor e8group » Dom Dez 23, 2012 11:19

4- Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ou falsa .Se verdadeira prove ;se falsa ,prove ou dê um contra-exemplo .

a) Seja A uma matriz n \times n . Se B = A A^tA^{-1} então det(A) = det(B) .

Este exercício é simples ,mas estou em conflito com o mesmo . Na matemática A^{-1} significa matriz inversa da matriz A . Mas ,devo considerar A^{-1} como a matriz inversa da A ? Ou devo considerar a hipótese de A^{-1} não existir ? Geralmente quando estamos buscando a inversa de uma matriz , por exemplo dada a matriz P = (p_{ij})_{n \times n} e a matriz W = (w_{ij})_{n \times n} .Se PW = WP = I_n ,temos que W = P^{-1} isto é ,W é a matriz inversa da P .

Afinal de contas , pelo enunciado única informação que sabemos é que A = (a_{ij})_{ n \times n} e logo após ele explícita B em função de A A^t A^{-1} . O que quero dizer é que, dada uma matriz A , (n \times n) isto não significa que A é invertível ,pois nem todas matriz quadradas são invertíveis .

Diante deste pensamento , eu concluir que esta informação é falsa . Pois ,det(B) =  det(A)det(A^t)det(A^{-1}) =  \frac{det(A) }{det(A)} det(A) .

Se A é invertível , então det(A) \neq 0 logo det(B) = det(A) . Mas isto contradiz ,meu pensamento .

Em resumo :

Estou em conflito em considerar A^{-1} como a inversa da matriz A ou não . Pois no enunciado ele não diz que A é invertível .

Qual a opinião de vc's ?

Grato !
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 23, 2012 18:23

Sua hipótese é que B = A \cdot A^t \cdot A^{-1}, isto automaticamente implica que A tem de ter inversa. Neste exercício não cabe questionar se a matriz original é invertível ou não: se ela for, vale a afirmação? A resposta é sim.

Pense com a seguinte analogia: seja f uma função dos reais nos reais. Se f for diferenciável, então f é contínua.
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor e8group » Dom Dez 23, 2012 18:53

Consegui compreender ,obrigado pela ajuda .

Agora vamos supor se nossa hipótese fosse A \cdot B  = A \cdot A^t então det(B) = Det(A) . Neste contexto meu pensamento acima justifica isto , certo ? Pois aqui não temos a certeza da existência da matriz inversa de A . Estar correto ?

Só para frisar , estou questionando se a matriz A invertível por que quando ela o é ,temos det(A) \neq 0 e quando ela não é invertível temos det(A) = 0 .Isto é definição .
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 23, 2012 19:24

Sim. Elas são equivalentes quando a matriz A for invertível, mas diferentes caso contrário.
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor e8group » Dom Dez 23, 2012 22:26

Ok , obrigado .
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D