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[determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

[determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor e8group » Dom Dez 23, 2012 11:19

4- Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ou falsa .Se verdadeira prove ;se falsa ,prove ou dê um contra-exemplo .

a) Seja A uma matriz n \times n . Se B = A A^tA^{-1} então det(A) = det(B) .

Este exercício é simples ,mas estou em conflito com o mesmo . Na matemática A^{-1} significa matriz inversa da matriz A . Mas ,devo considerar A^{-1} como a matriz inversa da A ? Ou devo considerar a hipótese de A^{-1} não existir ? Geralmente quando estamos buscando a inversa de uma matriz , por exemplo dada a matriz P = (p_{ij})_{n \times n} e a matriz W = (w_{ij})_{n \times n} .Se PW = WP = I_n ,temos que W = P^{-1} isto é ,W é a matriz inversa da P .

Afinal de contas , pelo enunciado única informação que sabemos é que A = (a_{ij})_{ n \times n} e logo após ele explícita B em função de A A^t A^{-1} . O que quero dizer é que, dada uma matriz A , (n \times n) isto não significa que A é invertível ,pois nem todas matriz quadradas são invertíveis .

Diante deste pensamento , eu concluir que esta informação é falsa . Pois ,det(B) =  det(A)det(A^t)det(A^{-1}) =  \frac{det(A) }{det(A)} det(A) .

Se A é invertível , então det(A) \neq 0 logo det(B) = det(A) . Mas isto contradiz ,meu pensamento .

Em resumo :

Estou em conflito em considerar A^{-1} como a inversa da matriz A ou não . Pois no enunciado ele não diz que A é invertível .

Qual a opinião de vc's ?

Grato !
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 23, 2012 18:23

Sua hipótese é que B = A \cdot A^t \cdot A^{-1}, isto automaticamente implica que A tem de ter inversa. Neste exercício não cabe questionar se a matriz original é invertível ou não: se ela for, vale a afirmação? A resposta é sim.

Pense com a seguinte analogia: seja f uma função dos reais nos reais. Se f for diferenciável, então f é contínua.
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor e8group » Dom Dez 23, 2012 18:53

Consegui compreender ,obrigado pela ajuda .

Agora vamos supor se nossa hipótese fosse A \cdot B  = A \cdot A^t então det(B) = Det(A) . Neste contexto meu pensamento acima justifica isto , certo ? Pois aqui não temos a certeza da existência da matriz inversa de A . Estar correto ?

Só para frisar , estou questionando se a matriz A invertível por que quando ela o é ,temos det(A) \neq 0 e quando ela não é invertível temos det(A) = 0 .Isto é definição .
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 23, 2012 19:24

Sim. Elas são equivalentes quando a matriz A for invertível, mas diferentes caso contrário.
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Re: [determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

Mensagempor e8group » Dom Dez 23, 2012 22:26

Ok , obrigado .
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.