Matriz 3X3

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Matriz 3X3

Mensagempor Colton » Seg Out 11, 2010 20:07

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Aqui está um exercício que tem resistido há horas aos meus ataques:

Sem desenvolver, demonstre que o determinante da matriz 3X3

cos 0 - cos a - cos 2a
cos a - cos 2a - cos 3a
cos 2a - cos 3a - cos 4a

é nulo. Está claro que a11 = 1. Mas não consegui cercar o problema com as propriedades dos determinantes. Dando valor, p.ex. a = 30 graus, de fato o determinante é nulo, porém estou perdido que nem cachorro em dia de mudança para resolver isto sem desenvolver...

Tem alguém aí que possa me dar uma orientação?

Colton

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P.S.

Hoje matutando sobre este problema consegui a resolução aplicando o Teorema de Cauchy "A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M, ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fial paralela, é igual a zero"

Colton

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Colton
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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