Desafio (Poliedro)

por **Carolziiinhaaah** » Sex Jul 09, 2010 22:22

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} a^2 & (1+a)^2 & (2+a)^2 & (3+a)^2 \\ b^2 & (1+b)^2 & (2+b)^2 & (3+b)^2 \\ c^2 & (1+c)^2 & (2+c)^2 & (3+c)^2 \\ d^2 & (1+d)^2 & (2+d)^2 & (3+d)^2 \end{pmatrix}$

gabarito: zero.

Pergunta: é baseada nas propriedades de determinantes ou é braçal mesmo?
Se alguém puder resolvê-la ;-)

por **Tom** » Sáb Jul 10, 2010 01:50

Sabemos que se

é uma matriz quadrada de ordem

e uma de suas fileiras, isto é, linha ou coluna, é igual a combinação linear de outras fileiras paralelas, então o determinante da matriz é igual a zero.

Na matriz em questão:

$\begin{pmatrix} a^2 & (1+a)^2 & (2+a)^2 & (3+a)^2 \\ b^2 & (1+b)^2 & (2+b)^2 & (3+b)^2 \\ c^2 & (1+c)^2 & (2+c)^2 & (3+c)^2 \\ d^2 & (1+d)^2 & (2+d)^2 & (3+d)^2 \end{pmatrix}$

Percebemos que C_4=3C_3-3C_2+C_1

, veja um caso genérico:

3(2+x)^2-3(1+x)^2+x^2=

=12+12x+3x^2-3-6x-3x^2+x^2=x^2+6x+9=(x+3)^2

Portanto, o determinante é nulo !!!

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