[EsPCEx Determinante/Trigonometria]

por **monicadiasf** » Ter Abr 24, 2012 00:37

Olá pessoas! Sou novata por aqui.. Encontrei o site quando procurava pela resolução de alguns exercícios de matemática, além das teorias disponíveis no fórum. Espero poder ajudar sempre que possível! Minha primeira dúvida envolve o seguinte exercício:

(EsPCEx) - Considere a matriz quadrada A = $\left( \begin{array}{ccc} sen18º & cos72º \\ sen36º & cos54º \end{array} \right)$ .
O valor do determinante de A é:

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

Letra C (queria colocar oculto, mas não sei fazer isso xD)

obs1.: Não sei porque o Â saiu na minha fórmula em formato Latex (ainda estou aprendendo como isso funciona). Acho que deu para entender que se trata de ângulos, né?

obs2.: Eu comecei a resolução tentando encontrar o determinante pela Regra de Sarrus e pensei em transformar todos os elementos em sen ou cos de 18º através das fórmulas:
cos(a + b) = cos a · cos b - sen a · sen b
sen(a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a

Pois:
36º = 18º + 18º
54º = 18º + 36º
72º = 18º + 54º

Mas ficou muito grande e eu acabei me perdendo! :-D

Ajuda??

Muuuito obrigada!

por **Russman** » Ter Abr 24, 2012 04:18

Veja que esta matriz é quadrada, de ordem 2. Assim, seu determinante é diferença do produto dos elementos das diagonais princiapal e secundária.

Isto é:

$\begin{pmatrix} sin(18^{\circ}) & cos(72^{\circ}) \\ sin(36^{\circ}) & cos(54^{\circ}) \end{pmatrix}=sin(18^{\circ}).cos(54^{\circ}) - sin(36^{\circ}).cos(72^{\circ})$

Agora observe que

72 + 18 = 90 = 54 + 36 .

.

Assim,

$cos(54^{\circ}) = cos(90^{\circ} - 36^{\circ}) = cos(90^{\circ}).cos(36^{\circ})+sin(90^{\circ}).sin(36^{\circ}) = 0.cos(36^{\circ}) + 1.sin(36^{\circ}) = sin(36^{\circ})$

e

$cos(72^{\circ}) = cos(90^{\circ} - 18^{\circ}) = cos(90^{\circ}).cos(18^{\circ})+sin(90^{\circ}).sin(18^{\circ}) = 0.cos(18^{\circ}) + 1.sin(18^{\circ}) = sin(18^{\circ})$

Portanto,

$sin(18^{\circ}).cos(54^{\circ}) - sin(36^{\circ}).cos(72^{\circ}) = sin(18^{\circ}).sin(36^{\circ}) - sin(36^{\circ}).sin(18^{\circ}) = 0$

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