MateusDantas1 escreveu:Para cada n inteiro positivo, os números de Lucas L_n são definidos por:
,
,
.
a. Prove que, para todo n maior ou igual a 0,
, onde
e
b. Prove que
é um número de Lucas, para cada n>0
c. Prove que
, para todo n maior ou igual a 0.
MateusDantas1 escreveu:Não tenho ideia de como se faz isso
Primeiro, veja alguns números de Lucas:
E assim por diante.
MateusDantas1 escreveu:a. Prove que, para todo n maior ou igual a 0,
, onde
e
Façamos n = 0.
Pela definição, temos que
.
Além disso, temos que:
Sendo assim, temos que:
Ou seja, a relação é válida para n = 0.
Vamos supor que a relação é válida até n. Ou seja, vamos supor que:
Desejamos provar que ela será válida para n + 1. Isto é, desejamos provar que:
Vamos começar desenvolvendo
.
Usando a definição, temos que:
Usando a suposição de que a relação é válida até n, podemos dizer que:
Em resumo, obtemos que:
Sendo assim, provamos por indução que para todo n maior ou igual a zero é válido que
, onde
e
.
Agora tente fazer os outros quesitos.