Exercício de Indução matemática

por **shadowk** » Qua Fev 16, 2011 19:09

Boas!
Eu estou a tentar resolver um exame para me preparar melhor para o exame de recurso de sexta, só que tem uma questão que eu não estou mesmo a ver como se faz.

Recorrendo ao método de indução matemática, mostre que: $\sum_{k=0}^{n}\ (2k-1)=n^2$

Agradeço a ajuda desde já.

por **Renato_RJ** » Qua Fev 16, 2011 21:59

Boa noite amigo !! Tudo em paz ??

Seguinte, essa série é assim:

$1+3+5+ \dots + 2k - 1 = k^2$

É fácil ver isso aplicando os valores de 0 e 1 no somatório, ao aplicarmos a indução para k + 1

teremos:

$1+3+5+ \dots + 2 \cdot (k + 1) -1 = (k+1)^2 \Rightarrow \, 1 + 3 + 5 + \dots + 2k + 2 -1 = k^2 + 2K + 1 \Rightarrow \, 1 + 3 + 5 + \dots + 2k + 1 = k^2 + 2K + 1$

Só que $1+ 3 + 5 + \dots + 2k -1 = k^2$ então, teremos:

k^2 + 2k + 1 = k^2 + 2k + 1

Como os dois lados tem a mesma equação, está provado que a fórmula funciona para k+1.

Abraços,
Renato.

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