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PG Crescente

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Mensagempor Lana Brasil » Seg Mai 27, 2019 21:21

Boa Noite.
Estou com dúvidas na questão abaixo. Poderiam me ajudar, por favor?
Obrigada

Considere a progressão geométrica crescente em que a2+a5=72 e a4+a7=288. Calcule a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.
Não tenho o Gabarito.
Lana Brasil
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Re: [Progressões] PG Crescente

Mensagempor Baltuilhe » Seg Mai 27, 2019 23:49

Boa noite!

Dado:
\begin{cases}a_2+a_5=72\\a_4+a_7=288\end{cases}

Desenvolvendo o termo geral a_n=a_1\cdot q^{n-1}.
Primeira equação:
a_1\cdot q+a_1\cdot q^4=72

Segunda equação:
a_1\cdot q^3+a_1\cdot q^6=288

Agora, dividindo a segunda pela primeira:
\dfrac{a_1\cdot q^3+a_1\cdot q^6}{a_1\cdot q+a_1\cdot q^4}=\dfrac{288}{72}\\\dfrac{a_1\cdot q^3\cdot\left(1+q^3\right)}{a_1\cdot q\cdot\left(1+q^3\right)}=4\\\dfrac{\cancel{a_1}\cdot q^3\cdot\cancel{\left(1+q^3\right)}}{\cancel{a_1}\cdot q\cancel{\cdot\left(1+q^3\right)}}=4\\\dfrac{q^3}{q}=4\\q^2=4\\q=\sqrt{4}\\q=\pm 2\\\boxed{q=2}

Conhecida a razão, vamos voltar para a primeira equação:
a_1\cdot q+a_1\cdot q^4=72\\
a_1\cdot q\cdot\left(1+q^3\right)=72\\
a_1\cdot 2\cdot\left(1+2^3\right)=72\\
a_1\cdot 2\cdot 9=72\\
a_1=\dfrac{72}{18}=4

Agora que temos o primeiro termo e a razão:
S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\\S_{10}=4\cdot\dfrac{2^{10}-1}{2-1}\\S_{10}=4\cdot\dfrac{1\,024-1}{1}=4\cdot 1\,023\\\boxed{S_{10}=4\,092}

Espero ter ajudado!
Baltuilhe
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Re: [Progressões] PG Crescente

Mensagempor Lana Brasil » Qua Mai 29, 2019 09:45

Muito obrigada pela resposta.
Não consegui finalizar porque não pensei em dividir um pelo outro.


Baltuilhe escreveu:Boa noite!

Dado:
\begin{cases}a_2+a_5=72\\a_4+a_7=288\end{cases}

Desenvolvendo o termo geral a_n=a_1\cdot q^{n-1}.
Primeira equação:
a_1\cdot q+a_1\cdot q^4=72

Segunda equação:
a_1\cdot q^3+a_1\cdot q^6=288

Agora, dividindo a segunda pela primeira:
\dfrac{a_1\cdot q^3+a_1\cdot q^6}{a_1\cdot q+a_1\cdot q^4}=\dfrac{288}{72}\\\dfrac{a_1\cdot q^3\cdot\left(1+q^3\right)}{a_1\cdot q\cdot\left(1+q^3\right)}=4\\\dfrac{\cancel{a_1}\cdot q^3\cdot\cancel{\left(1+q^3\right)}}{\cancel{a_1}\cdot q\cancel{\cdot\left(1+q^3\right)}}=4\\\dfrac{q^3}{q}=4\\q^2=4\\q=\sqrt{4}\\q=\pm 2\\\boxed{q=2}

Conhecida a razão, vamos voltar para a primeira equação:
a_1\cdot q+a_1\cdot q^4=72\\
a_1\cdot q\cdot\left(1+q^3\right)=72\\
a_1\cdot 2\cdot\left(1+2^3\right)=72\\
a_1\cdot 2\cdot 9=72\\
a_1=\dfrac{72}{18}=4

Agora que temos o primeiro termo e a razão:
S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\\S_{10}=4\cdot\dfrac{2^{10}-1}{2-1}\\S_{10}=4\cdot\dfrac{1\,024-1}{1}=4\cdot 1\,023\\\boxed{S_{10}=4\,092}

Espero ter ajudado!
Lana Brasil
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.