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Mensagempor solon » Qui Jul 23, 2015 17:57

seja (a1, a2, ..., an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q>0. O produto de seus termos é igual a 2^25 e o termo do meio é 2^5. Se a soma dos (n-1) primeiros termos é igual a 2(1+q)(1+q^2), então :
a) a1 + q =16
b) a1 + q =12
c) a1 + q = 10
d) a1 + q + n = 20
e) a1 + q + n = 11
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Re: progressões

Mensagempor solon » Qui Jul 30, 2015 20:03

Como n é ímpar, então o termo do meio é ? a?_((n+1)/2).Digite a equação aqui.
A P.G. proposta é do tipo a_(1,) a_2, ..., a_((n+1)/2) , ..., a_n), (com razão q > 0.
Aplicando uma das propriedades da P.G., temos:
a_((n+1)/2 =) ?(a_1.a_(n ) ) ? a_1.a_n =??(? a?_((n+1)/2) )^2 ? ? a_1.a_n = (? 2 ?^5 )^2 ? a_1.a_n = 2^10
O produto dos n primeiros termos da P.G. (a_(1,) a_2, ..., a_((n+1)/2) , ..., n ), é dado por P_n= ?((?a_(1 ).a_n )?^n ) .
Substituindo P_n por 2^25 e a_1. a_n por 2^10 , vem:
P_n = ?((?a_(1 ).a_n)?^n ) ?2^25 = ?((??2^10?_ )?^n ) ? 2^25 = ?((??2^n?_ )?^10 ) ? 2^25 =? (2 ?^n )^5 ?
2^25 = 2^5n ? 5n = 25 ? n = 5
A soma dos (n – 1) primeiros termos dessa P.G. é dada por 2 ? ( 1 + q ) ? (1 + q^2 )
Como n = 5, o termo do meio é o terceiro, isto é:
a_3 = a_1? q^2 ? a_1 = a_3/q^2 ? a_(1 )= 32/q^2
Segue que:
S_4 = (a_1 ? ( q^4 -1 ))/(( q-1 )) ? S_4 = (32 ? [(q^2 )^2 -1 ])/(q^2 ? (q-1)) ? S_4 = (32 ?(q^2-1) ? (q^2-1))/(q^2 ? (q-1) ) ? S_4 = (32 ?(q^2+ 1) ? (q+1) ? (q-1))/(q^2 ? (q-1) )
Substituindo S_4 por 2? (1+q)? (1+ q^2 ), vem:
2 ? (1+q)? (1+q^2 ) = (32 ? (q^2+ 1) ? (q + 1) ? (q - 1))/(q^2 ? (q -1) ) ? 32/q^2 = 2 ? q^2 = 16 ? q = 4 ou q = -4 ( não convém, pois devemos ter q > 0 )
O primeiro termo é dado por: a_1 = 32/q^2 ? a_1 = 32/q^2 ? a_1 = 32/4^2 ? a_1 = 2
Como a_1 = 2, q = 4, n = 5, temos: a_1+ q +n=11
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Re: progressões

Mensagempor solon » Sáb Ago 01, 2015 03:48

Como n é ímpar, então o termo do meio é {a}_{\frac{n+1}{2}}.
A P.G. proposta é do tipo ({a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{\frac{n+1}{2}},...,{a}_{n}), (com razão q > 0.
Aplicando uma das propriedades da P.G., temos:{a}_{\frac{n+1}{2}} = \sqrt[]{{a}_{1}.{a}_{n}}\rightarrow{a}_{1}.{a}_{n} = \left({\frac{n+1}{2}} \right)^{2}\rightarrow{a}_{1}.{a}_{n} = \left({2}^{5} \right)^{2}\rightarrow{a}_{1}.{a}_{n} = {2}^{10}
O produto dos n primeiros termos da P.G. ({a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{\frac{n+1}{2}},...,{a}_{n}) , é dado por P_n = \sqrt[]({{a}_{1}.{a}_{n}})^{n}. .
Substituindo P_n por {2}^{25} e {a}_{1}.{a}_{n} por {2}^{10}, vem:
P_n = \sqrt[]({{a}_{1}.{a}_{n}})^{n} \rightarrow{2}^{25} = \sqrt[]{({2}^{10})^{n}}\rightarrow{2}^{25} = \sqrt[]{({2}^{n})^{10}}\rightarrow{2}^{25} = {2}^{5n}\rightarrow 5n = 25\rightarrow n = 5
A soma dos (n – 1) primeiros termos dessa P.G. é dada por 2 ? ( 1 + q ) ? (1 + q^2 )
Como n = 5, o termo do meio é o terceiro, isto é:
a_3 = a_1.{q}^{2}\rightarrow  a_1 = \frac{{a}_{3}}{{q}^{2}} \rightarrow{a}_{1} = \frac{32}{{q}^{2}}
Segue que:
{s}_{4} = \frac{{a}_{1\left({q}^{4}-1 \right)}}{\left(q-1 \right)}\rightarrow{s}_{4} = \frac{32\left[\left({{q}^{2}} \right)^{2}-1 \right]}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}\rightarrow{s}_{4} = \frac{32\left({q}^{2}-1 \right).\left({q}^{2}-1 \right)}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}\rightarrow{s}_{4} = \frac{32\left({q}^{2}+1).\left(q+1 \right).\left(q-1 \right) \right)}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}
Substituindo{s}_{4} por 2.\left(1+q \right).\left(1+{q}^{2} \right)vem:
2.\left(1+q \right).\left(1+{q}^{2} \right) = \frac{32.\left({q}^{2}+1).\left(q+1 \right).\left(q-1 \right) \right)}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}\rightarrow\frac{32}{{q}_{2}} = 2\rightarrow{q}^{2} = 16 ? q = 4 ou q = -4 ( não convém, pois devemos ter q > 0 )
O primeiro termo é dado por:{a}_{1} = \frac{32}{{q}^{2}}\rightarrow{a}_{1} = \frac{32}{{4}^{2}}\rightarrow{a}_{1} = 2
Como a_1 = 2, q = 4, n = 5, temos: a_1+ q +n=11
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.