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Mensagempor solon » Ter Jul 21, 2015 01:56

queria que me mostrassem como resolver o seguinte problema: Seja (b1, b2, b3) uma progressão geométrica de razão maior do que 1. Se b1+b2+b3=91 e (b1+25, b2+27, b3+1) é uma progressão aritmética, então b1 é igual a : A resposta correta é 7, mas como chegar a esse resultado ?
solon
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Re: progressões

Mensagempor nakagumahissao » Ter Jul 21, 2015 11:04

Dados:

\left({b}_{1}, \,\, {b}_{2}, \,\, {b}_{3}  \right) \,\,\,\, PG \,\,\,\, [1]

\left({b}_{1} + 25, \,\, {b}_{2} + 27, \,\, {b}_{3} + 1 \right) \,\,\,\, PA \,\,\,\, [2]

{b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} = 91  \,\,\,\, [3]

q > 1

A razão da PG em [1] será:

q = \frac{{b}_{2}}{{b}_{1}} = \frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}

{{b}_{2}}^{2} = {b}_{1} {b}_{3}

{b}_{3} = \frac{{{b}_{2}}^{2}}{{b}_{1}} \,\,\,\,\, [4]

A razão na PA em [2] será:

r = {b}_{2} + 27 - ({b}_{1} + 25) = {b}_{3} + 1 - ({b}_{2} + 27)

r = {b}_{2} + 27 - {b}_{1} - 25 = {b}_{3} + 1 - {b}_{2} - 27

r = {b}_{2} - {b}_{1} + 2 = {b}_{3}- {b}_{2} - 26

{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} + {b}_{2} =  - 26 - 2

2{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28   \,\,\,\, [5]

Usando [3] em [5], observamos que:

{b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} = 91

2{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28

eles formam um sistema de equações e que, se somarmos ambas as equações, poderemos encontrar um dos valores. Somemos então as duas equações:

3{b}_{2}  = 63

{b}_{2}  = \frac{63}{3}

{b}_{2}  = 21

Agora, vamos substituir este valor em [3], [4] e [5]:

{b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} = 91 \Rightarrow {b}_{1} + 21 + {b}_{3} = 91 \Rightarrow

\Rightarrow {b}_{1} + {b}_{3} = 70  \,\,\,\, [6]


{b}_{3} = \frac{{{b}_{2}}^{2}}{{b}_{1}} \Rightarrow {b}_{3} = \frac{{21}^{2}}{{b}_{1}} \Rightarrow

\Rightarrow {b}_{3} = \frac{441}{{b}_{1}} \,\,\,\,\, [7]


2{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28 \Rightarrow 2 \times 21 - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28 \Rightarrow 42 - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28 \Rightarrow

\Rightarrow - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 70 \Rightarrow

\Rightarrow {b}_{1} + {b}_{3} = 70  \,\,\,\, [8]

Usando [7] em [6] ou [8], teremos:

{b}_{1} + {b}_{3} = 70 \Rightarrow {b}_{1} + \frac{441}{{b}_{1}} = 70 \Rightarrow

\Rightarrow {{b}_{1}}^{2} + 441 = 70{b}_{1} \Rightarrow {{b}_{1}}^{2} - 70{b}_{1} + 441 = 0

Desta última equação (quadrática) obtemos:

\Delta = b^2 - 4ac \Rightarrow \Delta = 4900 - 1764 \Rightarrow \Delta = 3136

\sqrt[]{\Delta} = 56

{b}_{1} = \frac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a} \Rightarrow

\Rightarrow {b}_{1} = \frac{70 \pm 56}{2} = 35 \pm 28

\therefore {b}_{1} = 63 \,\,\,\,\, ou \,\,\,\,\,\, {b}_{1} = 7


Com estes dois resultados, vamos agora obter através de [6] ou [8] o valor do terceiro termo da PA e da PG:

Usando 63 para o primeiro termo:

{b}_{1} + {b}_{3} = 70 \Rightarrow 63 + {b}_{3} = 70  \Rightarrow {b}_{3} = 70 - 63 \Rightarrow {b}_{3} = 7

Usando 7 para o primeiro termo:

{b}_{1} + {b}_{3} = 70 \Rightarrow 7 + {b}_{3} = 70  \Rightarrow {b}_{3} = 70 - 7 \Rightarrow {b}_{3} = 63

Agora, ficamos com estas duas possibilidades para a PG e a PA:

RESPOSTA 1:

PG - (63, 21, 7) => Razão: 1/3
PA - (63 + 25, 21 + 27, 7 + 1) = (88, 48, 8) => razão = -40

e

RESPOSTA 2:

PG - (7, 21, 63) => Razão: 3
PA - (7 + 25, 21 + 27, 63 + 1) = (32, 48, 64) => razão = 16

No enunciado, foi dado que a razão (q) deve ser maior que 1 (q > 1). Portanto, a única resposta possível para esta questão deverá ser a RESPOSTA 2, ou seja, o primeiro termo vale 7.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
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Re: progressões

Mensagempor solon » Ter Jul 21, 2015 12:43

valeu! obrigado por mostrar-me os métodos de resolução sobre as dúvidas que tive, assim só engrandece cada vez mais a difusão do conhecimento.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}