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Mensagempor solon » Ter Jul 14, 2015 03:00

olá, este é o meu primeiro contato com a equipe ajuda Matemática, queria desde já agradecer por esta oportunidade grandiosa de poder interagir com uma comunidade matemática, para que possa haver uma troca mútua de informações, que de certa forma estaremos contribuindo com a difusão do conhecimento. Tenho uma dúvida com relação a como encontrar a razão de uma progressão geométrica da seguinte forma: para 0<a<1, a soma algébrica a-a/2+a^2-a/2^2+a^3-a/2^3+...a^n-a/2^n+...vale:, a reposta correta é a seguinte: a^2/1-a . Já utilizei algumas das propriedades das progressões mas não consegui encontrar o resultado, acredito ter que primeiramente encontrar a razão. Preciso que me mostre um método de resolução para o tal enunciado. Agradeço pela compreensão.
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Re: progressões

Mensagempor nakagumahissao » Ter Jul 14, 2015 10:40

a-\frac{a}{2}+a^2-\frac{a}{2^2}+a^3-\frac{a}{2^3}+...a^n-\frac{a}{2^n}+...

Nesta sequência, podemos observar duas sequências em Progressão Geométrica:

[1] a+a^2+a^3+...a^n+...

e

[2] -\frac{a}{2}-\frac{a}{2^2}-\frac{a}{2^3}-...-\frac{a}{2^n}-...


A fórmula da soma de uma PG infinita é:

[3] S{}_{n}= \frac{a1}{1-q}

Sendo "n" um número que identifique a soma infinita da sequência 1 ou da Sequência 2.

De [1] e [2], tem-se que:

q{}_{1} = a

(Obtem-se este valor acima para a razão, dividindo-se a^2 por a, a^3 por a^2, a^4 por a^3 ou quaisquer valores subsequentes pelo seu anterior)

Desta mesma forma:

q{}_{2} = \frac{1}{2}


Usando as razões obtidas em [3] e somando-se as duas somas teremos:


Total = S{}_{1} + S{}_{2} = \frac{a}{1-a} +  \frac{-\frac{a}{2}}{1 - \frac{1}{2}} =

= \frac{a}{1-a} +  \frac{-\frac{a}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{1-a} - a = \frac{a - a(1-a)}{1-a} =

= \frac{a - a + a^2}{1-a}

Total = \frac{ a^2}{1-a}

\blacksquare
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.