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Progressão aritmética e progressão geométrica

Progressão aritmética e progressão geométrica

Mensagempor Danilo Dias Vilela » Sex Mar 12, 2010 13:41

Gostaria que ajudassem a articular a seguinte questão para obter a resposta.

1) Sabendo que ({a}_{1};{a}_{2};{a}_{3};...) é uma P.A. de razão 3, ({b}_{1};{b}_{2};{b}_{3};...) é uma P.G. de razão 2, {a}_{1}={b}_{2} e {a}_{7}={b}_{4}, calcule o valor de {a}_{5}+{b}_{5}.

a) 36
b) 48
c) 56
d) 58
e) 66

GABARITO: letra e
Danilo Dias Vilela
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Re: Progressão aritmética e progressão geométrica

Mensagempor thadeu » Sex Mar 12, 2010 17:36

a_5=a_1+4r, como a razão é r = 3, então, a_5=a_1+12

b_5=b_1.q^4, como a razão é q = 2, então, b_5=b_1.(2)^4\,\Rightarrow\,b_5=16b_1

Foram dados que:
A)\,\,\,a_1=b_2\,\Rightarrow\,a_1=b_1.q\,\Rightarrow\,a_1=2b_1
B)\,\,\,a_7=a_1+6r\,\Rightarrow\,a_7=a_1+6(3)\,\Rightarrow\,a_7=a_1+18
C)\,\,\,b_4=b_1.q^3\,\Rightarrow\,b_4=b_1(2)^3\,\Rightarrow\,b_4=8b_1

Como a_7=b_4\,\Rightarrow\,a_1+18=8b_1, substituindo o valor de a_1
2b_1+18=8b_1\,\Rightarrow\,6b_1=18\,\Rightarrow\,b_1=3

Com isso, temos que se a_1=2b_1\,\Rightarrow\,a_1=2(3)\,\Rightarrow\,a_1=6

Encontrando a_5\,\,\,e\,\,\,b_5
a_5=6+12\,\Rigtarrowa_5=18
b_5=16(3)\,\Rightarrow\,b_5=48

a_5+b+5=18+48=66
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?