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questão

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Mensagempor sirle ignes » Seg Mar 08, 2010 23:46

Professor, estou a dias tentando resolver esse problema, montei ate um esquema desenhado e sempre chego na resposta de 1311 sendo assim não consigo chegar na resposta do gabarito. por gentileza me ajuda. Segue a questão

10 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
1ª 2ª 3ª 4ª 50ª 51ª Torneira
3
Em um caminho retilíneo há um canteiro formado por
51 roseiras, todas enfileiradas ao longo do caminho, como
ilustrado. A distância entre quaisquer duas roseiras conse-
cutivas é 1,5 m. Nesse caminho, há ainda uma torneira a
10,0 m da primeira roseira.
Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para
isso, utiliza um regador que, quando cheio, tem capacidade
para molhar 3 roseiras.
Dessa forma, Gabriel enche o regador na torneira, encaminha-se
para a 1a
roseira, molha-a, caminha até a 2a
roseira,
molha-a e, a seguir, caminha até a 3a
roseira, molhando-a
também, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fica
vazio, Gabriel volta à torneira, enche o regador e repete a
rotina anterior para as três roseiras seguintes. No momento
em que acabar de regar a última das roseiras, quantos metros
Gabriel terá percorrido ao todo desde que encheu o regador
pela primeira vez?
(A) 1666,0 (B) 1581,0
(C) 1496,0 (D) 833,0
(E) 748,0
sirle ignes
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Re: questão

Mensagempor Douglasm » Ter Mar 09, 2010 09:40

Olá sirle ignes. Vamos analisar o problema como uma progressão aritmética. Comecemos contando a primeira viagem (ida e volta), ela é de 10m + 1,5m + 1,5m = 13m (x 2) = 26m ; Deste modo vemos que a viagem feita para molhar as três primeiras roseiras e voltar até a torneira foi de 26m. Agora vamos considerar a viagem para as três próximas roseiras:
13m + 1,5m + 1,5 m + 1,5m = 17,5m (x2) = 35m. Se continuarmos contando deste modo, vemos que, cada vez que se passa para as 3 próxima roseiras, a distância na ida e na volta cresce 9m. Vamos montar a progressão:

a_1 = 26m ; a_2 = 26 + 9 = 35m ; a_3 = 26 + 2.9 = 44m (...) a_n = 26 + 9(n-1)

Facilmente percebemos que para molhar 51 roseiras são feitas 17 viagens, logo o último termo da nossa progressão será o a_{17}.

a_{17} = 26 + 9(16) = 170m

Sabendo o primeiro termo, o último termo e o número de termos, calculamos a soma pela fórmula:

S = \frac{a_{1} + a_{17}}{2} . 17 \therefore S = \frac{26 + 170}{2} . 17 = 1666m

Mas não nos precipitemos! O resultado obtido foi considerando ida e volta, deste modo acabamos por contar também a volta na última viagem. O problema só pede a distância até a última roseira, logo devemos descontar a volta, que é dada por 170/2 = 85. Assim temos:

1666 - 85 = 1581m Letra B

Espero que seja isso. Até a próxima.
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Re: questão

Mensagempor sirle ignes » Ter Mar 09, 2010 17:32

Douglas muito obrigada pela ajuda, eu estava considerando não os 4,5 m e sim somente 3 m, então por isso não conseguia fechar. Valeu, nem acredito que alguém me ajudou.
sirle ignes
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D