Olá Ananda, boa tarde!
Hoje pensei em um modo mais simples de fazer, sem argumentos do cálculo, utilizando o fato de o conjunto imagem da função seno ser limitado entre -1 e 1 e as definições da progressão geométrica, veja:
Nossa PG:
Com primeiro termo:
E razão:
Tal que
(soma dos 5 primeiros termos)
A conjunto imagem da função seno é limitado:
Como o quadrado de um número real nunca é negativo, segue que:
Considerando a razão que é
, vamos listar todas as possibilidades de classificação desta PG:
Caso I) Se
Implicaria uma PG constante com termos nulos.
Caso II) Se
Implicaria uma PG decrescente com cada termo menor que o anterior.
Caso III) Se
Implicaria uma PG constante com termos iguais e não nulos.
Agora, analisemos cada caso:
Caso I) Não convém, pois teríamos:
PG =
Com
.
Caso II) Como
Segue que:
E então:
Que também não convém, pois teríamos:
Caso III) É o caso restante.
Tanto que para
, vale a equação trigonométrica da soma de termos da PG:
Logo, de fato,
.
E segue que:
ou
Portanto, o conjunto-solução é: